Première D · Leçon 5
Extension de la notion de limite
Exercices corrigés
QCM — Limites et asymptotes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+3}{x-1}$ vaut :
a) $4$ b) $-3$ c) $0$ d) $+\infty$
2) Soit $g(x)=\dfrac5{x+2}$. La courbe de $g$ admet pour asymptote verticale la droite :
a) $x=2$ b) $x=-2$ c) $y=5$ d) $y=0$
3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(7-\dfrac3{x^2}\right)$ vaut :
a) $7$ b) $-3$ c) $4$ d) $+\infty$
4) Pour $x>0$, on a $|h(x)-2|\leqslant\dfrac4x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac4x=0$. On en déduit :
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=2$ b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=4$ c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ d) on ne peut rien conclure
Voir le corrigé
- Réponse : a. $4x+3=4(x-1)+7$, donc $f(x)=4+\dfrac7{x-1}\to4$ quand $x\to+\infty$.
- Réponse : b. $g$ n'est pas définie en $x=-2$ et $\displaystyle\lim_{x\to-2}g(x)=\pm\infty$ selon le côté : asymptote verticale $x=-2$.
- Réponse : a. $\dfrac3{x^2}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc la limite vaut $7-0=7$.
- Réponse : a. C'est le théorème de comparaison : l'encadrement $|h(x)-2|\leqslant4/x$ avec $4/x\to0$ force $h(x)\to2$.
Situation d'intégration — Coût de production
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une unité de transformation de karité a un coût moyen de production, en milliers de FCFA par kilogramme, modélisé par $C(x)=\dfrac{500+3x}{x+2}$, où $x$ est la quantité produite en tonnes, $x\in\;]0;+\infty[$.
Le gérant de l'unité envisage d'augmenter fortement la production et veut savoir si le coût moyen peut descendre indéfiniment, ou s'il existe un plancher que le coût ne pourra jamais franchir, même pour une très grande quantité produite.
Consigne : Réécrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+2}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$ et l'interpréter, puis étudier le signe de $C(x)-a$ pour dire si le coût moyen peut atteindre ou passer sous ce seuil pour une valeur finie de $x$.
Voir le corrigé
- Réécriture. $500+3x=3(x+2)+494$ (car $3(x+2)=3x+6$, et $500-6=494$), donc $C(x)=3+\dfrac{494}{x+2}$.
- Limite. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{494}{x+2}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale. Le coût moyen se rapproche de $3$ milliers de FCFA/kg sans jamais réellement l'atteindre pour une production finie.
- Signe de $C(x)-3=\dfrac{494}{x+2}$. Pour $x>0$, on a $x+2>0$ donc $\dfrac{494}{x+2}>0$ : $C(x)>3$ pour toute valeur de $x$.
- Conclusion. Le coût moyen reste toujours strictement supérieur à $3$ milliers de FCFA/kg, quelle que soit la quantité produite : il existe bien un plancher que le gérant ne pourra jamais franchir, seulement en approcher indéfiniment en augmentant $x$.
Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes
Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.
Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.
Une fonction rationnelle et ses trois asymptotes
On considère la fonction \(f\) définie par \[f(x)=\dfrac{2x^2-3x-5}{x^2-4x+3}\] et on note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère.
1) Résous l'équation \(x^2-4x+3=0\). Donne l'ensemble de définition \(D\) de \(f\) et le signe de \(x^2-4x+3\) suivant les valeurs de \(x\).
2) Calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Interprète graphiquement le résultat.
3) Calcule les limites à gauche et à droite de \(f\) en 1, puis en 3. Interprète graphiquement.
4) Démontre que, pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x)-2=\dfrac{5x-11}{x^2-4x+3}\). Étudie la position de \((C)\) par rapport à la droite \((\Delta)\) d'équation \(y=2\).
5) Détermine les abscisses des points où \((C)\) coupe l'axe des abscisses. Décris ensuite, par une phrase, l'allure de \((C)\) sur l'intervalle \(]3\,;+\infty[\) en t'appuyant sur les questions précédentes.
Les poissons d'un bassin d'élevage
Un pisciculteur introduit des tilapias dans un bassin. Il estime que le nombre de poissons du bassin, \(t\) mois après l'introduction, est donné par \[P(t)=\dfrac{600t^2+400}{t^2+4}\quad\text{pour } t\geq 0.\]
1) Calcule le nombre de poissons introduits au départ, puis le nombre de poissons au bout de 2 mois.
2) Calcule la limite de \(P\) en \(+\infty\). Interprète ce résultat graphiquement, puis pour le bassin.
3) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(P(t)=600-\dfrac{2000}{t^2+4}\). Déduis-en la position de la courbe de \(P\) par rapport à son asymptote.
4) Soit \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(0\leq u\lt v\). Démontre que \(P(u)\lt P(v)\). Que peux-tu dire du sens de variation de \(P\) ?
5) À partir de combien de mois le bassin contient-il au moins 500 poissons ? Le nombre de poissons peut-il atteindre 600 ? Justifie.
Retrouver une fonction à partir de son asymptote et de deux points
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\) différent de 2, par \[f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{(x-2)^2}.\] Sa courbe représentative \((C)\) admet en \(+\infty\) la droite d'équation \(y=3\) pour asymptote horizontale, et elle passe par les points \(A(1\,;0)\) et \(B(3\,;10)\).
1) En développant le dénominateur, exprime la limite de \(f\) en \(+\infty\) en fonction de \(a\). Déduis-en la valeur de \(a\).
2) Traduis par un système de deux équations le fait que \((C)\) passe par \(A\) et par \(B\), puis calcule \(b\) et \(c\).
3) Calcule la limite de \(f\) en 2 et interprète graphiquement le résultat. Précise le comportement de \((C)\) de chaque côté de la droite obtenue.
4) Démontre que, pour tout \(x\neq 2\), \(f(x)-3=\dfrac{5x-8}{(x-2)^2}\). Étudie la position de \((C)\) par rapport à la droite d'équation \(y=3\).
5) Résous l'inéquation \(f(x)\leq 0\) et interprète graphiquement l'ensemble des solutions.
Asymptotes d'une famille de fonctions : discussion suivant un paramètre
Pour tout réel \(m\), on considère la fonction \(f_m\) définie, pour tout réel \(x\) différent de 2, par \[f_m(x)=\dfrac{(m-2)x^2+5x-6}{2x-4}\] et on note \((C_m)\) sa courbe représentative.
1) Dans cette question, \(m=2\). Calcule les limites de \(f_2\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), puis à gauche et à droite en 2. Donne les asymptotes de \((C_2)\).
2) On suppose \(m\neq 2\). Détermine, suivant le signe de \(m-2\), les limites de \(f_m\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Justifie que \((C_m)\) admet une asymptote horizontale seulement pour \(m=2\).
3) Démontre que le numérateur de \(f_m(x)\) prend en 2 la valeur \(4(m-1)\). Déduis-en, pour \(m\neq 1\), les limites à gauche et à droite de \(f_m\) en 2 suivant la position de \(m\) par rapport à 1, et interprète graphiquement.
4) Dans cette question, \(m=1\). Factorise le numérateur, simplifie \(f_1(x)\) et calcule la limite de \(f_1\) en 2. La droite d'équation \(x=2\) est-elle asymptote à \((C_1)\) ? Décris \((C_1)\).
5) Récapitule, suivant les valeurs de \(m\), les asymptotes de \((C_m)\) parallèles aux axes du repère.