Étude et représentation graphique d’une fonction

Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.

Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4x+3\).

1) Mets \(f(x)\) sous forme canonique, puis indique le sommet de la parabole représentative de \(f\).
2) Étudie les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et donne son minimum.
3) Résous \(f(x)=0\), puis donne le tableau de signe de \(f\).

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\cos(2x)\).

1) Détermine si \(g\) est paire et donne une période de \(g\).
2) Calcule \(g(0)\), \(g(\pi/4)\), \(g(\pi/2)\), \(g(3\pi/4)\) et \(g(\pi)\).
3) Résous \(g(x)=0\) sur \([0,\pi]\), puis déduis les solutions de \(g(x)\ge 0\) sur ce même intervalle.

On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=x^3-3x\).

1) Montre que \(h\) est impaire, puis donne le centre de symétrie de sa courbe.
2) Étudie les variations de \(h\) et précise ses extrémums éventuels.
3) Résous \(h(x)=0\), puis donne le signe de \(h\).

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.

1) Détermine l'ensemble de définition de \(f\) et montre que \(f(x)=3-\dfrac7{x+2}\).

2) Calcule les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition et déduis-en les asymptotes de \(\mathcal{C}\).

3) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Donne le centre de symétrie de \(\mathcal{C}\) et les points d'intersection de \(\mathcal{C}\) avec les axes du repère.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2+4\).

1) Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe.

2) Dresse le tableau de variation de \(f\) avec ses limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).

3) Vérifie que \(f(x)=(x+1)(x-2)^2\) et déduis-en les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

4) Montre que le point \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie de la courbe.

5) En utilisant le tableau de variation, détermine le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation \(y=3\), c'est-à-dire le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=3\).

Soit \(f\) la fonction définie, pour tout réel \(x\) différent de 1, par \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-1}\), et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), puis à gauche et à droite en 1. Précise l'asymptote verticale de \((C)\). Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x-2\) est asymptote à \((C)\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis étudie la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).

2) Démontre que, pour tout réel \(x\) différent de 1, \(f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\), en précisant ses extremums locaux.

3) Démontre que, pour tout réel \(h\) non nul, \(f(1+h)+f(1-h)=-2\). Que peux-tu en déduire pour le point \(\Omega\) de coordonnées \((1\,;-1)\) ?

4) Soit \(m\) un réel. À l'aide du tableau de variation, donne suivant les valeurs de \(m\) le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\).

5) Démontre que, pour \(x\neq 1\), l'équation \(f(x)=m\) équivaut à \(x^2-(m+3)x+m+6=0\). Calcule le discriminant de cette équation, factorise-le et retrouve les résultats de la question 4. Résous enfin l'équation \(f(x)=4\). La courbe \((C)\) coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Sur des parcelles d'essai identiques, une agronome apporte \(x\) kilogrammes d'engrais, avec \(0\leq x\leq 8\), puis pèse la récolte de maïs. Elle modélise la récolte, en kilogrammes, par la fonction \(g\) définie sur \([0\,;8]\) par \(g(x)=-x^3+6x^2+15x+20\).

1) Calcule \(g'(x)\), étudie son signe sur \([0\,;8]\) et dresse le tableau de variation de \(g\).

2) Quelle dose d'engrais donne la récolte maximale ? Quelle est cette récolte ? Compare-la à la récolte obtenue sans engrais.

3) Démontre que, pour tout \(x\) de \([0\,;8]\), \(g'(x)=27-3(x-2)^2\). On admet que \(g'(x)\) mesure le gain de récolte par kilogramme d'engrais supplémentaire lorsque la dose est \(x\). Pour quelle dose ce gain est-il le plus grand ? Combien vaut-il alors ?

4) Résous dans \([0\,;8]\) l'équation \(g(x)=20\) ; donne la valeur exacte de la solution non nulle, puis sa valeur arrondie au centième. Interprète ce résultat pour l'agronome.

5) Démontre que, pour tout \(x\) de \([0\,;8]\), \(g(x)-66=(x-2)(-x^2+4x+23)\). Déduis-en les doses pour lesquelles la récolte est d'au moins 66 kilogrammes.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)-1\), et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Démontre que \(f\) est périodique de période \(\pi\). Le nombre \(\dfrac{\pi}{2}\) est-il aussi une période de \(f\) ? La fonction \(f\) est-elle paire ? Est-elle impaire ? Justifie chaque réponse.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(-3\leq f(x)\leq 1\). Calcule \(f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(f\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\), puis donne le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3) On rappelle que la fonction cosinus est strictement décroissante sur \([0\,;\pi]\) et strictement croissante sur \([\pi\,;2\pi]\). Démontre que \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{12}\,;\dfrac{7\pi}{12}\right]\) et strictement croissante sur \(\left[\dfrac{7\pi}{12}\,;\dfrac{13\pi}{12}\right]\), puis dresse le tableau de variation de \(f\) sur \(\left[\dfrac{\pi}{12}\,;\dfrac{13\pi}{12}\right]\).

4) Démontre que, pour tout réel \(h\), \(f\left(\dfrac{\pi}{12}+h\right)=2\cos(2h)-1\). Déduis-en que la droite d'équation \(x=\dfrac{\pi}{12}\) est un axe de symétrie de \((C)\).

5) Vérifie que \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0\). À l'aide de l'axe de symétrie, de la période et du tableau de variation, détermine toutes les solutions de l'équation \(f(x)=0\) dans \(\left[\dfrac{\pi}{12}\,;\dfrac{13\pi}{12}\right]\), puis résous dans cet intervalle l'inéquation \(f(x)\geq 0\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x^3}{4}-3x\), et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan d'origine \(O\).

1) Démontre que \(f\) est impaire. Qu'en déduis-tu pour la courbe \((C)\) ? Explique pourquoi il suffit d'étudier \(f\) sur \([0\,;+\infty[\).

2) Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe sur \([0\,;+\infty[\). Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\), dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\), puis donne, grâce à la question 1, les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et ses extremums locaux.

3) Soit \((\Delta)\) la droite d'équation \(y=x\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)-x=\dfrac{x(x-4)(x+4)}{4}\). Donne les coordonnées des points d'intersection de \((C)\) et de \((\Delta)\), puis résous l'inéquation \(f(x)\leq x\) et interprète graphiquement son ensemble de solutions.

4) Résous l'équation \(f(x)=0\) et donne le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\). Donne la valeur arrondie au centième de la plus grande solution.

5) Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=f(x-1)+2\), de courbe représentative \((C')\). Démontre que, pour tout réel \(h\), \(g(1+h)+g(1-h)=4\), et précise le centre de symétrie de \((C')\). Sans calculer \(g'(x)\), donne les variations de \(g\) et ses extremums locaux en justifiant ta méthode.