Équations et inéquations du second degré dans ℝ

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

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Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$   b) $49$   c) $-1$   d) $25$

2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$   b) $-1$ et $-2$   c) $2$ et $-1$   d) $3$ et $-1$

3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$   b) $(x-2)^2+3$   c) $(x+2)^2-3$   d) $(x-4)^2+1$

4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif   b) négatif   c) nul   d) indéterminé

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Exercice supplémentaire. On considère $R(x)=x^2-2x+5$.

1) Calculer le discriminant de $R$.
2) Que peut-on en conclure sur les racines réelles de $R$ ?
3) Étudier le signe de $R(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (indication : forme canonique).

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

Pour tout nombre réel \(m\), on considère l'équation \((E_m)\) d'inconnue \(x\) : \[x^2-2mx+m^2-m-2=0.\]

1) Démontre que le discriminant de \((E_m)\) est \(\Delta=4(m+2)\). Déduis-en, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l'équation.

2) Résous l'équation \((E_m)\) dans le cas où \(m=7\).

3) Dans cette question et dans la suivante, on suppose \(m\gt -2\) et on note \(x_1\) et \(x_2\) les deux solutions. Sans calculer ces solutions, exprime leur somme \(S\) et leur produit \(P\) en fonction de \(m\). Démontre que \(P=(m-2)(m+1)\), puis détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles les deux solutions sont de signes contraires.

4) Démontre que \(x_1^2+x_2^2=2m^2+2m+4\). Pour quelle valeur de \(m\) a-t-on \(x_1^2+x_2^2=16\) ? Attention à la condition sur \(m\).

5) Détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles le nombre 4 est une solution de \((E_m)\). Pour chacune d'elles, calcule l'autre solution à l'aide de la somme, puis contrôle le résultat à l'aide du produit.

Les élèves d'un lycée délimitent un potager rectangulaire à l'aide d'une corde de 70 m, tendue tout autour du potager et utilisée entièrement. Toutes les longueurs sont exprimées en mètres.

1) Dans cette question, le potager a une aire de 300 mètres carrés. On note \(x\) et \(y\) ses dimensions. Justifie que \(x\) et \(y\) sont les solutions de l'équation \(t^2-35t+300=0\), puis détermine les dimensions du potager.

2) Calcule la longueur de la diagonale de ce potager.

3) Désormais, seule la longueur de la corde est fixée. On note \(x\) la longueur d'un côté du potager, avec \(0\lt x\lt 35\). Démontre que l'aire du potager est \(A(x)=-x^2+35x\), puis détermine les valeurs de \(x\) pour lesquelles cette aire est au moins égale à 250 mètres carrés.

4) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(\dfrac{1225}{4}-A(x)=\left(x-\dfrac{35}{2}\right)^2\). Déduis-en l'aire maximale du potager et la forme qu'il a dans ce cas.

5) On note \(d(x)\) la longueur de la diagonale du potager. Démontre que \(d(x)=\sqrt{2x^2-70x+1225}\) et justifie que le polynôme placé sous le radical est strictement positif pour tout réel \(x\). Résous ensuite, dans l'intervalle \(]0\,;35[\), l'équation \(d(x)=x+5\) et interprète le résultat.

On considère le polynôme \(p(x)=-x^2+6x+16\) et l'expression \(f(x)=\sqrt{p(x)}\).

1) Étudie le signe de \(p(x)\) suivant les valeurs de \(x\). Déduis-en l'ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(25-p(x)=(x-3)^2\). Déduis-en que, pour tout \(x\) de \(D\), on a \(0\leq f(x)\leq 5\), et précise pour quelle valeur de \(x\) on a \(f(x)=5\).

3) Résous l'équation \(f(x)=x-2\). Tu préciseras les conditions à imposer à \(x\) avant d'élever au carré, puis tu vérifieras la solution trouvée.

4) Résous l'inéquation \(f(x)\geq x-2\), en distinguant deux cas suivant le signe de \(x-2\).

5) Déduis de la question précédente, sans nouveau calcul, l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x)\lt x-2\). Justifie, puis contrôle ta réponse avec la valeur \(x=7\).

On considère le polynôme \(P(x)=4x^4-37x^2+9\).

1) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(4X^2-37X+9=0\).

2) Déduis-en les solutions de l'équation \(P(x)=0\).

3) Démontre que \(P(x)=(x^2-9)(4x^2-1)\) pour tout réel \(x\), puis écris \(P(x)\) comme un produit de quatre polynômes du premier degré.

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\), puis résous l'inéquation \(P(x)\leq 0\).

5) Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels, avec \(a\) non nul, tels que l'équation \(ax^4+bx^2+c=0\) ait quatre solutions réelles. Démontre que la somme de ces quatre solutions est nulle et que leur produit est égal à \(\dfrac{c}{a}\). Vérifie ces deux résultats sur l'équation \(P(x)=0\).

6) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(x^4-5x^2-36=0\) et explique pourquoi elle n'a que deux solutions.