Dérivation

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=x^2$. Le nombre dérivé $f'(3)$ vaut :
a) $3$   b) $6$   c) $9$   d) $0$

2) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour équation :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x-1$   d) $y=3x+5$

3) La dérivée de $g(x)=\cos(4x-1)$ est :
a) $-4\sin(4x-1)$   b) $4\sin(4x-1)$   c) $-\sin(4x-1)$   d) $4\cos(4x-1)$

4) La dérivée de $\dfrac{x-2}{x+3}$ est :
a) $\dfrac5{(x+3)^2}$   b) $\dfrac1{(x+3)^2}$   c) $\dfrac{-5}{(x+3)^2}$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Si $f'(x)>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est sur $I$ :
a) constante   b) croissante   c) décroissante   d) non dérivable

2) Si $f$ est dérivable et admet un extremum local en $a$, intérieur à $I$, alors :
a) $f(a)=0$   b) $f'(a)=0$   c) $f''(a)=0$   d) $f(a)=a$

3) Pour appliquer le théorème de la bijection monotone à $f$ sur $[a;b]$, il faut que $f$ soit :
a) continue seulement   b) dérivable et $f'$ de signe constant sur $[a;b]$   c) positive sur $[a;b]$   d) paire

4) La courbe de $|f|$ s'obtient à partir de celle de $f$ en :
a) la translatant vers le haut   b) repliant vers le haut, par symétrie d'axe $(Ox)$, les portions où $f$ est négative   c) l'inversant totalement   d) rien ne change

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$   b) $3x^2-2x$   c) $x^2-2$   d) $3x-2$

2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$   b) $8$   c) $12$   d) $6$

3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$   b) $y=-x+1$   c) $y=x-1$   d) $y=-2x+1$

4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$   b) $\dfrac1{(x+1)^2}$   c) $\dfrac{-1}{x+1}$   d) $\dfrac1{x+1}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse effectue le trajet entre deux villes. Il modélise la distance parcourue depuis le départ, en kilomètres, par $d(t)=-2t^2+50t$, où $t$ est le temps écoulé en heures, $t\in[0;5]$.

Sur une portion de route particulière, la limitation de vitesse est fixée à $90$ km/h. Le chauffeur veut vérifier s'il respecte cette limitation exactement à l'instant $t=2$ heures après son départ.

Consigne : Calculer le nombre dérivé $d'(2)$ en utilisant la définition (taux de variation entre $2$ et $2+h$, puis limite quand $h\to0$), interpréter ce nombre comme une vitesse instantanée, et dire si le chauffeur respecte la limitation à cet instant.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une exploitante de manguiers de la Boucle du Mouhoun vend sa récolte sur le marché local. Son bénéfice, en milliers de FCFA, est modélisé par $B(x)=-x^2+18x-45$, où $x$ est le nombre de tonnes vendues, $x\in[0;16]$.

Elle souhaite déterminer la quantité à vendre pour obtenir le bénéfice le plus élevé possible, sans gaspiller de récolte en vendant au-delà de cette quantité optimale.

Consigne : Calculer $B'(x)$, étudier son signe sur $[0;16]$, en déduire les variations de $B$ sur cet intervalle, puis déterminer la quantité optimale à vendre et le bénéfice maximal correspondant.

Problème — Soit $f(x)=x^3-4x+1$ et $g(x)=\sqrt{2x+3}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$. 2) Calculer $f'(1)$, puis $f(1)$. 3) En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Partie B. 1) Donner l'ensemble de définition de $g$. 2) En utilisant la formule de dérivation de $x\mapsto\sqrt{ax+b}$, calculer $g'(x)$. 3) Calculer $g'(3)$.

Problème — Soit $f(x)=-x^2+4x-1$, définie sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 2) En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de son maximum.

Partie B. 1) Justifier que $f$ réalise une bijection de $[2;5]$ sur un intervalle à préciser. 2) En déduire que l'équation $f(x)=-4$ admet une unique solution dans $[2;5]$, puis la déterminer.

Partie C. Déterminer les racines de $f$, puis donner l'expression de $f^+(x)$ (partie positive de $f$) selon les valeurs de $x$.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=\sqrt{2x+1}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) En revenant à la définition (limite du taux d'accroissement), démontre que \(f\) est dérivable en 4 et que \(f'(4)=\dfrac{1}{3}\).

2) Calcule \(f'(x)\) pour \(x\gt -\dfrac{1}{2}\) à l'aide de la formule de dérivation de \(x\mapsto g(ax+b)\), puis retrouve la valeur de \(f'(4)\).

3) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\) d'abscisse 4.

4) Démontre que, pour tout \(x\geq -\dfrac{1}{2}\), \(\left(\dfrac{x+5}{3}\right)^2-(2x+1)=\dfrac{(x-4)^2}{9}\). Déduis-en la position de \((C)\) par rapport à \((T)\).

5) Utilise l'approximation affine de \(f\) au voisinage de 4 pour donner une valeur approchée de \(\sqrt{9{,}06}\). Cette valeur est-elle approchée par excès ou par défaut ? Calcule son carré pour apprécier sa précision.

6) Pour \(h\gt 0\), exprime le taux d'accroissement de \(f\) entre \(-\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{1}{2}+h\), puis étudie sa limite quand \(h\) tend vers 0. La fonction \(f\) est-elle continue en \(-\dfrac{1}{2}\) ? Est-elle dérivable en \(-\dfrac{1}{2}\) ? Interprète graphiquement et conclus sur le lien entre continuité et dérivabilité.

Une coopérative de pisciculteurs fait construire un bassin ouvert (sans couvercle) en forme de pavé droit à base carrée, de volume \(16\) mètres cubes. Le fond, en béton, revient à \(6000\) francs le mètre carré ; les quatre parois verticales reviennent à \(1500\) francs le mètre carré. On note \(x\) le côté de la base et \(h\) la hauteur du bassin, en mètres, avec \(x\gt 0\).

1) Exprime \(h\) en fonction de \(x\), puis démontre que le coût total de construction, en francs, est \(C(x)=6000x^2+\dfrac{96000}{x}\).

2) Calcule \(C'(x)\) et démontre que, pour tout \(x\gt 0\), \(C'(x)=\dfrac{12000\,(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}\).

3) Étudie le signe de \(C'(x)\), calcule les limites de \(C\) en 0 et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variations de \(C\) sur \(]0\,;+\infty[\).

4) Déduis-en les dimensions du bassin le moins cher et le coût minimal. Interprète concrètement les deux limites trouvées à la question 3.

5) Pour faciliter la pêche au filet, la coopérative exige finalement que le côté de la base mesure au moins \(2{,}5\) mètres. Justifie quel est alors le bassin le moins cher, donne ses dimensions, son coût et le surcoût par rapport à la question 4.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\neq 1\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\), et \((C)\) sa courbe représentative.

1) Détermine trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}\).

2) Calcule \(f'(x)\) et démontre que \(f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\), limites comprises. Précise les extremums relatifs de \(f\). Le maximum relatif est inférieur au minimum relatif : explique pourquoi ce n'est pas contradictoire.

4) Détermine les points de \((C)\) où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y=-3x+1\), et donne une équation de chacune de ces tangentes.

5) Soit \(m\) un réel. Démontre que, pour \(x\neq 1\), l'équation \(f(x)=m\) équivaut à \(x^2-(m+3)x+m+6=0\). Discute, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\), puis explique en quoi ce résultat est cohérent avec la question 3.

Un solide accroché à un ressort oscille le long d'un axe horizontal. À l'instant \(t\), exprimé en secondes, son abscisse en centimètres est \(x(t)=5\cos\left(2t-\dfrac{\pi}{3}\right)\), pour \(t\) dans l'intervalle \([0\,;\pi]\). Sa vitesse est \(v(t)=x'(t)\) et son accélération est \(a(t)=v'(t)\).

1) Calcule l'abscisse du solide à l'instant \(t=0\), puis calcule \(v(t)\) en justifiant la règle de dérivation utilisée.

2) Résous dans \([0\,;\pi]\) l'équation \(v(t)=0\).

3) Étudie le signe de \(v(t)\) sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variations de la fonction \(x\). Entre quelles abscisses le solide oscille-t-il ?

4) Calcule \(a(t)\) et démontre que, pour tout \(t\) de \([0\,;\pi]\), \(a(t)=-4\,x(t)\).

5) Démontre que, pour tout \(t\) de \([0\,;\pi]\), \(v(t)^2+4\,x(t)^2=100\). Déduis-en la plus grande valeur possible de la vitesse en valeur absolue, la position du solide quand elle est atteinte, puis les instants correspondants.