Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $A$ et $B$ sont deux ensembles finis avec $\text{card}(A)=20$, $\text{card}(B)=15$, $\text{card}(A\cap B)=5$. Alors $\text{card}(A\cup B)$ vaut :
a) $35$   b) $30$   c) $40$   d) $10$

2) Dans un ensemble $E$ de cardinal $40$, une partie $A$ vérifie $\text{card}(A)=28$. Le cardinal du complémentaire $\overline A$ vaut :
a) $68$   b) $12$   c) $-12$   d) $40$

3) $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, $\text{card}(E)=6$, $\text{card}(F)=4$. Le cardinal de $E\times F$ vaut :
a) $10$   b) $2$   c) $24$   d) $6^4$

4) $E$ est un ensemble à $7$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (l'ensemble $\mathcal P(E)$) vaut :
a) $128$   b) $14$   c) $49$   d) $64$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $5!$ vaut :
a) $20$   b) $120$   c) $25$   d) $100$

2) $A_6^2$ vaut :
a) $30$   b) $15$   c) $12$   d) $36$

3) Le nombre de façons de ranger $4$ personnes en file indienne vaut :
a) $24$   b) $16$   c) $12$   d) $4$

4) Pour tout entier $n\geqslant1$, $A_n^n$ est égal à :
a) $n$   b) $n!$   c) $n^n$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom72$ vaut :
a) $21$   b) $14$   c) $42$   d) $5$

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, on a $\binom{10}3=\binom{10}{k}$ avec $k=$ :
a) $3$   b) $7$   c) $10$   d) $13$

3) Dans le développement de $(x+1)^4$, le coefficient de $x^2$ vaut :
a) $4$   b) $6$   c) $8$   d) $12$

4) D'après la relation de Pascal, $\binom52+\binom53=\binom6{k}$ avec $k=$ :
a) $2$   b) $3$   c) $5$   d) $6$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un lycée organise une kermesse de fin d'année. Sur les $200$ élèves de l'établissement, $120$ participent à l'atelier théâtre, $85$ à l'atelier musique, et $40$ participent aux deux ateliers à la fois.

Le comité d'organisation doit commander un tee-shirt pour chaque élève participant à au moins un atelier (sans doublon pour ceux qui font les deux), plus une réserve correspondant à $10\%$ des élèves ne participant à aucun atelier, qui seront mobilisés comme bénévoles le jour J.

Consigne : Déterminer le nombre d'élèves participant à au moins un atelier, le nombre d'élèves ne participant à aucun des deux, puis le nombre total de tee-shirts à commander (réserve bénévoles arrondie à l'entier supérieur).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole compte $10$ membres candidats à un bureau de $3$ postes bien distincts : président, trésorier et secrétaire.

La coopérative doit ensuite afficher, dans l'ordre du meilleur au moins bon, le classement des $5$ producteurs les plus performants (en tonnage de coton) parmi les $12$ producteurs de la coopérative, sans aucun ex-æquo possible.

Consigne : Déterminer le nombre de bureaux différents possibles, puis le nombre de classements différents possibles pour les $5$ meilleurs producteurs parmi les $12$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG intervenant dans la région du Sahel a formé $9$ volontaires. Elle doit sélectionner, parmi eux, une équipe de $4$ animateurs pour organiser une campagne de sensibilisation à l'hygiène dans les villages. Les $4$ postes de l'équipe sont identiques : aucune hiérarchie n'est établie entre les animateurs sélectionnés.

Pour son rapport de subvention, l'ONG doit vérifier que le nombre total d'équipes possibles reste strictement inférieur à un plafond de $150$ fixé par le bailleur de fonds (ce plafond garantissant que la procédure de sélection reste suffisamment restreinte et traçable).

Consigne : Calculer le nombre d'équipes de $4$ animateurs possibles parmi les $9$ volontaires, puis vérifier si ce nombre respecte le plafond fixé par le bailleur.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Une coopérative regroupe 40 maraîchers. Parmi eux, 24 cultivent la tomate, 19 cultivent l'oignon et 9 ne cultivent aucune de ces deux plantes. On note \(T\) l'ensemble des maraîchers qui cultivent la tomate et \(O\) l'ensemble de ceux qui cultivent l'oignon.

1) Combien de maraîchers cultivent au moins une des deux plantes ? Précise l'ensemble dont tu calcules le cardinal.

2) Déduis-en le nombre de maraîchers qui cultivent à la fois la tomate et l'oignon. Justifie avec une formule du cours.

3) Combien de maraîchers cultivent une seule de ces deux plantes ?

4) La coopérative envoie à une foire une délégation de 3 maraîchers, choisis simultanément ; les trois délégués jouent le même rôle, l'ordre ne compte donc pas. Combien de délégations différentes peut-on former ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.

5) Combien de ces délégations comprennent au moins un maraîcher qui cultive les deux plantes ?

6) Combien de délégations sont formées d'un maraîcher qui ne cultive que la tomate, d'un maraîcher qui ne cultive que l'oignon et d'un maraîcher qui ne cultive aucune des deux plantes ?

On considère l'ensemble \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\}\). On écrit des nombres de quatre chiffres en n'utilisant que des chiffres de \(E\) ; un même chiffre peut être utilisé plusieurs fois, sauf indication contraire.

1) Combien de nombres peut-on écrire ainsi ? Justifie en précisant la nature des objets que tu dénombres.

2) Parmi ces nombres, combien contiennent au moins une fois le chiffre 7 ?

3) On note \(F\) l'ensemble des nombres dont les quatre chiffres sont deux à deux distincts. Calcule le cardinal de \(F\).

4) Dans \(F\), on note \(P\) l'ensemble des nombres pairs et \(S\) l'ensemble des nombres strictement supérieurs à 4000. Calcule le cardinal de \(P\) et celui de \(S\).

5) Calcule le cardinal de \(P\cap S\), en distinguant deux cas selon le chiffre des milliers.

6) Déduis-en le nombre d'éléments de \(F\) qui sont pairs ou strictement supérieurs à 4000, puis le nombre d'éléments de \(F\) qui ne sont ni pairs ni strictement supérieurs à 4000.

Une élève possède 7 livres tous différents : 3 livres de mathématiques, 2 livres de physique et 2 livres de français. Elle les range côte à côte, sur une seule rangée d'une étagère. Deux rangements sont différents dès que les livres n'apparaissent pas dans le même ordre, de la gauche vers la droite.

1) Combien de rangements différents sont possibles ? Justifie.

2) Combien de rangements placent les trois livres de mathématiques les uns à côté des autres ?

3) Combien de rangements regroupent les livres par matière, les livres d'une même matière étant tous voisins ?

4) Combien de rangements séparent les deux livres de physique, ceux-ci n'étant pas l'un à côté de l'autre ?

5) Combien de rangements ont un livre de mathématiques à chacune des deux extrémités de la rangée ?

6) Combien de rangements placent les trois livres de mathématiques les uns à côté des autres tout en séparant les deux livres de physique ?

Un tournoi de handball réunit \(n\) équipes, où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2. Dans la première phase, chaque équipe rencontre une fois et une seule chacune des autres équipes.

1) Explique pourquoi le nombre de matchs de la première phase est \(C_n^2\), puis démontre que \(C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}\).

2) La première phase compte 66 matchs. Détermine le nombre \(n\) d'équipes en résolvant une équation du second degré.

3) Si chaque rencontre se jouait en deux matchs, l'un sur le terrain de la première équipe et l'autre sur le terrain de la seconde, combien de matchs y aurait-il ? Exprime ce nombre à l'aide d'un nombre d'arrangements et explique le lien avec le résultat de la question 2.

4) À la fin du tournoi, on attribue une médaille d'or, une médaille d'argent et une médaille de bronze à trois équipes différentes. Combien de palmarès différents sont possibles ?

5) Les équipes engagées sont 7 équipes juniors et 5 équipes cadettes. Les organisateurs choisissent simultanément 5 équipes pour une journée de gala, sans tenir compte de l'ordre. Combien de choix sont possibles ? Combien comprennent exactement 3 équipes juniors ? Combien comprennent au moins une équipe cadette ?