Composées de transformations du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est en réalité :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) l'identité seulement si le centre est l'origine

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$. L'image de $A(3;1)$ est :
a) $(-6;-2)$   b) $(6;2)$   c) $(-3;-1)$   d) $(1;3)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=4$ est :
a) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $-4$   b) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $\dfrac14$   c) la translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega\Omega}$   d) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $4$

4) $h_1$ de rapport $k_1=3$ et $h_2$ de rapport $k_2=\dfrac13$ (centres distincts) ont pour composée :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $9$   d) l'identité

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$   b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$   c) la rotation de centre $O$, angle $115°$   d) une translation

2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$   b) la rotation de centre $O$, angle $110°$   c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$   d) une homothétie

3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$   b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$   c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$   d) $(x;y)\mapsto(y;x)$

4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances   b) uniquement les angles   c) les distances et les angles   d) rien de particulier

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$   b) $-6$   c) $1{,}5$   d) $9$

2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité   b) une symétrie centrale   c) une rotation   d) une translation

3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre   b) une symétrie orthogonale   c) une translation   d) l'identité

4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$   b) $(5;8)$   c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$   d) $(-6;-15)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre doit agrandir le plan d'une parcelle pour un dossier de lotissement. Sur le plan original, un sommet $A$ du terrain a pour coordonnées $A(2;3)$ et un autre sommet $B(4;-1)$, dans un repère dont l'origine $\Omega(0;0)$ est le coin de référence du lotissement. Le règlement impose un agrandissement de rapport $k=2{,}5$ pour établir le plan final.

Consigne : Déterminer les coordonnées des points $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par cette homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2{,}5$. Calculer ensuite les distances $AB$ et $A'B'$, et vérifier que $A'B'=2{,}5\times AB$ (propriété de conservation des distances à un facteur $k$ près).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.

Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?

Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.

1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?

Problème — Soit $h_1$ l'homothétie de centre $A(1;2)$, rapport $k_1=2$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B(4;0)$, rapport $k_2=\dfrac12$.

Partie A. 1) Justifier que $h_1\circ h_2$ est une homothétie-translation et calculer son rapport. 2) En déduire précisément la nature de $h_1\circ h_2$.

Partie B. Déterminer le vecteur de cette translation, en calculant l'image de $O(0;0)$ par $h_1\circ h_2$ (calculer d'abord $h_2(O)$, puis $h_1$ appliqué à ce résultat).

Partie C. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. 1) Donner l'expression analytique de $h_1\circ h_2$ sous la forme $(x';y')$ en fonction de $(x;y)$. 2) Vérifier la cohérence de cette expression avec le résultat de la Partie B en substituant $x=0$, $y=0$.

Problème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.

Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.

Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?

Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.

Problème.

Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.

Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).

Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right)\). On donne les vecteurs \(\vec{u}(4\,;-3)\) et \(\vec{v}(-1\,;5)\), et les points \(A(-1\,;4)\) et \(\Omega(1\,;2)\). On note \(t_{\vec{u}}\) et \(t_{\vec{v}}\) les translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport 3, et \(h'\) l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\). Dans tout l'exercice, \(M(x\,;y)\) désigne un point quelconque du plan.

1) Écris l'expression analytique de \(t_{\vec{u}}\), puis celle de \(t_{\vec{v}}\). Calcule les coordonnées de \(A_1=t_{\vec{u}}(A)\), puis de \(A_2=t_{\vec{v}}(A_1)\).

2) À l'aide des expressions analytiques, détermine la nature et l'élément caractéristique de la composée \(t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}\), dans laquelle \(t_{\vec{u}}\) est appliquée en premier. L'ordre dans lequel on applique les deux translations a-t-il une importance ? Justifie.

3) Détermine l'expression analytique de \(h\), puis les coordonnées du point \(B=h(A)\).

4) Détermine l'expression analytique de \(h'\), puis celle de la composée \(g=h'\circ h\), dans laquelle \(h\) est appliquée en premier.

5) On note \(M''=g(M)\). Démontre que \(\overrightarrow{\Omega M''}=-\dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{\Omega M}\). Déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de \(g\), puis les coordonnées de \(A''=g(A)\).

6) Le point \(M\) décrit la droite \((D)\) d'équation \(y=2x+6\). Détermine le lieu géométrique du point \(M''=g(M)\) et donne une équation de ce lieu. Que peux-tu dire de ce lieu et de la droite \((D)\) ?

Le plan est orienté. \(ABCDEF\) est un hexagone régulier de centre \(O\) et de côté 4, de sens direct : \(OA=OB=OC=OD=OE=OF=4\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)=\left(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}\right)=\left(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}\right)=\left(\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{3}\). On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\), \(r'\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\), et \(s\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).

1) Détermine, en justifiant, les points \(r(A)\), \(r(B)\), \(r'(B)\) et \(r'(C)\).

2) On pose \(f=r'\circ r\), où \(r\) est appliquée en premier. Démontre que \(f\) est une rotation dont tu préciseras le centre et l'angle. Sous quel autre nom connais-tu cette transformation ? Donne \(f(A)\) et \(f(B)\).

3) Démontre, à l'aide de la transformation \(f\), que le quadrilatère \(ABDE\) est un rectangle. Calcule la longueur \(BD\) et l'aire de ce rectangle.

4) Précise la transformation réciproque de \(r'\), notée \(r'^{-1}\). On pose \(k=r'^{-1}\circ r\), où \(r\) est appliquée en premier. Détermine la nature et les éléments caractéristiques de \(k\), puis le point \(k(A)\). Quel lien y a-t-il entre \(k\) et \(r\) ?

5) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de la composée \(s\circ r'\), où \(r'\) est appliquée en premier. On note \(A_1\) l'image de \(A\) par cette composée. Démontre que la droite \((OA_1)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

6) Le point \(M\) décrit la droite \((AB)\). Détermine le lieu géométrique du point \(M''=f(M)\). Quelle est la position de ce lieu par rapport à la droite \((AB)\) ?

Dans un atelier de teinture, un artisan imprime au tampon un motif triangulaire sur une bande de tissu. La table est munie d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right)\) d'unité le centimètre. Le premier motif a pour sommets \(A(1\,;2)\), \(B(5\,;2)\) et \(C(2\,;6)\). Pour imprimer les motifs suivants, l'artisan fait glisser le tampon sans le tourner : d'abord selon le vecteur \(\vec{u}(8\,;3)\), puis selon le vecteur \(\vec{v}(-2\,;5)\).

1) Calcule les coordonnées des images \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) de \(A\), \(B\), \(C\) par la translation \(t_{\vec{u}}\), puis celles des images \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) de \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) par la translation \(t_{\vec{v}}\).

2) Détermine la nature et le vecteur de la transformation \(t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}\), qui fait passer du motif \(ABC\) au motif \(A_2B_2C_2\). De combien de centimètres chaque point du tampon s'est-il déplacé entre ces deux motifs ? Quelle translation ramène le tampon de \(A_2B_2C_2\) à \(ABC\) ?

3) Un apprenti imprime un motif de sommets \(D(4\,;-1)\), \(E(8\,;-1)\) et \(F(5\,;3)\). Existe-t-il une translation qui transforme \(A\) en \(D\), \(B\) en \(E\) et \(C\) en \(F\) ? Si oui, donne son vecteur.

4) Il imprime un autre motif, de sommets \(G(9\,;4)\), \(H(13\,;4)\) et \(K(10\,;9)\). Démontre qu'aucune translation ne transforme \(A\) en \(G\), \(B\) en \(H\) et \(C\) en \(K\). Explique, en comparant les longueurs \(AC\) et \(GK\), pourquoi le tampon n'a pas pu imprimer ce motif.

5) Après le premier glissement, de vecteur \(\vec{u}\), l'artisan veut placer le tampon sur le motif \(DEF\) par un seul glissement. Détermine les coordonnées du vecteur \(\vec{x}\) tel que \(t_{\vec{x}}\circ t_{\vec{u}}\) transforme \(ABC\) en \(DEF\).

6) Une tache de teinture occupe le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(C\) et de rayon 3. Un point \(M\) décrit ce cercle. Détermine, en justifiant, le lieu géométrique du point \(M''\), image de \(M\) par \(t_{\vec{v}}\circ t_{\vec{u}}\).

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=6\), \(AC=8\) et \(BC=10\). On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs des segments \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\), et \(G\) le centre de gravité du triangle, c'est-à-dire le barycentre des points pondérés \((A\,;1)\), \((B\,;1)\), \((C\,;1)\). On note \(h_1\) l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\), et \(h_2\) l'homothétie de centre \(G\) et de rapport 4.

1) Démontre que \(\overrightarrow{GA'}=-\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{GA}\). Déduis-en l'image de \(A\) par \(h_1\), puis, sans nouveau calcul, les images de \(B\) et de \(C\).

2) Justifie que \(\overrightarrow{A'B'}=-\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}\), puis donne les longueurs des trois côtés du triangle \(A'B'C'\).

3) On pose \(f=h_2\circ h_1\), où \(h_1\) est appliquée en premier. Démontre que, pour tout point \(M\) d'image \(M''\) par \(f\), on a \(\overrightarrow{GM''}=-2\,\overrightarrow{GM}\). Déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).

4) On note \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) les images de \(A\), \(B\), \(C\) par \(f\). Calcule les longueurs des côtés du triangle \(A_2B_2C_2\), précise sa nature et calcule son aire. Par quel nombre l'aire du triangle \(ABC\) a-t-elle été multipliée ?

5) Démontre que \(f(A')=A\). Déduis-en que \(A\) est le milieu du segment \([B_2C_2\,]\) et que la droite \((B_2C_2)\) est la parallèle à \((BC)\) passant par \(A\).

6) Calcule les longueurs \(AA'\), \(GA\), \(GA_2\) et \(AA_2\).