Barycentre

Exercice 2 — Situation d'intégration

Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.

Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).

1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?

Problème.

Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).

Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.

Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.

\(ABC\) est un triangle. On note \(I\) le point tel que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\), \(J\) le point tel que \(\overrightarrow{AJ}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), et \(G\) le barycentre des points pondérés \((A,3)\), \((B,2)\) et \((C,-1)\).

1) Démontre que \(I\) est le barycentre des points pondérés \((A,3)\) et \((B,2)\), et que \(J\) est le barycentre des points pondérés \((A,3)\) et \((C,-1)\).

2) Justifie l'existence du point \(G\), puis démontre que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

3) Démontre que \(G\) est le barycentre des points pondérés \((I,5)\) et \((C,-1)\). Déduis-en que les points \(C\), \(I\) et \(G\) sont alignés et exprime \(\overrightarrow{CG}\) en fonction de \(\overrightarrow{CI}\).

4) Démontre que \(G\) est le milieu du segment \([BJ]\).

5) On note \(K\) le symétrique du point \(C\) par rapport au point \(B\). Démontre que \(K\) est le barycentre des points pondérés \((B,2)\) et \((C,-1)\), puis que les points \(A\), \(G\) et \(K\) sont alignés. Que peux-tu en conclure pour les droites \((AK)\), \((BJ)\) et \((CI)\) ?

6) Dans le repère \(\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\), donne les coordonnées des points \(I\), \(J\), \(K\) et \(G\), puis contrôle par le calcul les égalités vectorielles obtenues aux questions 3 et 5.

Un porteur d'eau transporte deux seaux suspendus aux extrémités \(A\) et \(B\) d'une perche rigide de 160 cm, dont la masse est négligeable. Le seau accroché en \(A\) pèse 12 kg et celui accroché en \(B\) pèse 20 kg. On admet que la perche tient en équilibre sur l'épaule lorsque l'épaule est placée au barycentre des points d'accrochage affectés des masses qui y sont suspendues. La perche est assimilée à une droite graduée en centimètres, d'origine \(A\), sur laquelle \(B\) a pour abscisse 160.

1) On note \(G\) le barycentre des points pondérés \((A,12)\) et \((B,20)\). Justifie que \(G\) est aussi le barycentre de \((A,3)\) et \((B,5)\), exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis donne l'abscisse de \(G\).

2) Démontre que \(12\times GA=20\times GB\), puis contrôle cette égalité avec les longueurs trouvées.

3) Le porteur accroche en plus un sac de 8 kg au point \(C\) d'abscisse 40. Le nouveau point d'équilibre est le barycentre \(H\) des points pondérés \((A,12)\), \((B,20)\) et \((C,8)\). Calcule l'abscisse de \(H\) en utilisant le barycentre partiel \(G\), puis contrôle le résultat avec la formule des coordonnées du barycentre de trois points.

4) Le sac de 8 kg est maintenant accroché en un point \(M\) d'abscisse \(x\), avec \(0\leq x\leq 160\). Démontre que l'abscisse du point d'équilibre est \(h(x)=80+\dfrac{x}{5}\), puis détermine où accrocher le sac pour que l'épaule soit à 90 cm de \(A\).

5) Le porteur peut-il accrocher le sac de façon que le point d'équilibre soit le milieu de la perche ? Explique le résultat sans calcul, à l'aide d'un isobarycentre.

6) Quel est l'ensemble des positions possibles du point d'équilibre lorsque le sac parcourt toute la perche ? Justifie.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points \(A(-4\,;-2)\) et \(B(8\,;7)\). On note \(P\) le barycentre des points pondérés \((A,2)\) et \((B,1)\), et \(Q\) le barycentre des points pondérés \((A,1)\) et \((B,2)\).

1) Calcule les coordonnées de \(P\), puis les distances \(AB\), \(PA\) et \(PB\).

2) Soit \(M\) un point du plan. Réduis la somme \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\), puis détermine l'ensemble \((E_1)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\|=15\). Justifie que le point \(A\) appartient à \((E_1)\).

3) Calcule les coordonnées de \(Q\). Détermine l'ensemble \((E_2)\) des points \(M\) du plan tels que \(\left\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right\|\) et donne une équation de \((E_2)\). Démontre que \((E_2)\) est aussi la médiatrice du segment \([AB]\).

4) On donne le point \(C(5\,;10)\) et on note \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\) et \(I\) le milieu de \([AB]\). Calcule les coordonnées de \(G\), puis démontre que \(G\) est le barycentre des points pondérés \((I,2)\) et \((C,1)\) ; contrôle ce résultat avec les coordonnées.

5) Démontre que les points \(G\) et \(Q\) appartiennent à \((E_1)\) et que \([AQ]\) est un diamètre de \((E_1)\). Déduis-en la nature du triangle \(AGQ\), puis contrôle ce résultat par un calcul de longueurs.

Un lycée compte trois classes de Première. À un devoir commun de mathématiques, la classe 1, de 20 élèves, a obtenu une moyenne de 9 ; la classe 2, de 30 élèves, une moyenne de 14 ; la classe 3, de 50 élèves, une moyenne de 11. Sur une droite graduée, on place les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'abscisses respectives 9, 14 et 11.

1) Justifie que la moyenne générale des 100 élèves est l'abscisse du barycentre \(G\) des points pondérés \((A,20)\), \((B,30)\) et \((C,50)\). Donne des coefficients plus simples pour ce barycentre, puis calcule cette moyenne.

2) On note \(H\) le barycentre des points pondérés \((A,2)\) et \((B,3)\). Exprime \(\overrightarrow{AH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), calcule l'abscisse de \(H\) et interprète ce nombre.

3) Démontre que \(G\) est le milieu du segment \([HC]\) et retrouve ainsi la moyenne générale.

4) Dans la classe 1, la moyenne des filles est \(10{,}5\) et celle des garçons est 8. En traduisant que \(A\) est un barycentre, détermine le nombre de filles de cette classe.

5) Le proviseur souhaite que la moyenne générale atteigne 12 au prochain devoir. Si les moyennes des classes 1 et 2 ne changent pas, quelle moyenne la classe 3 doit-elle obtenir ? Utilise le résultat de la question 3.

6) Démontre que, quels que soient les effectifs des trois classes, la moyenne générale reste comprise entre 9 et 14 lorsque les moyennes des classes sont 9, 14 et 11.