Angles orientés et trigonométrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$   b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$   c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$   d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$   b) $-\dfrac{7}{25}$   c) $\dfrac{9}{25}$   d) $-\dfrac{9}{25}$

3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$   b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$   c) $1+\cos(2x)$   d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$

4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$   b) $\sqrt3$   c) $4$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Problème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.

Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.

Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\sqrt{3}\cos^2 x-2\sin x\cos x-\sqrt{3}\).

1) Calcule \(f(0)\) et \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\).

2) À l'aide des formules de duplication et de linéarisation, démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). Contrôle cette écriture avec les deux valeurs de la question 1.

4) Résous dans l'intervalle \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(f(x)=1\).

5) Résous dans l'intervalle \(\left[0\,;\pi\right]\) l'inéquation \(f(x)\leq -1\).

Dans un petit port de pêche, la profondeur de l'eau à l'entrée du chenal varie avec la marée. Pendant une durée de 12 heures, on la modélise par \(h(t)=5+2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), où \(t\) est le temps écoulé depuis le début des relevés, en heures, avec \(t\) dans \(\left[0\,;12\right]\), et \(h(t)\) la profondeur en mètres.

1) Calcule \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(6)\) ; donne une valeur approchée de \(h(3)\) au centimètre près.

2) Démontre que, pour tout réel \(\theta\), \(2\cos\theta-2\sqrt{3}\sin\theta=4\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\). Déduis-en que \(h(t)=5+4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)\).

3) Justifie que la profondeur reste comprise entre 1 mètre et 9 mètres, puis détermine les instants où elle est maximale et où elle est minimale.

4) Résous dans \(\left[0\,;12\right]\) l'équation \(h(t)=7\).

5) Une pirogue chargée ne peut franchir le chenal que si la profondeur est d'au moins 3 mètres. Résous dans \(\left[0\,;12\right]\) l'inéquation \(h(t)\geq 3\), puis interprète le résultat : pendant combien d'heures, au total, la pirogue peut-elle passer ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;I,J)\). On note \((\mathcal{C})\) le cercle trigonométrique, de centre \(O\) et de rayon 1, et \((D)\) la droite d'équation \(\sqrt{3}\,x+y-1=0\). Pour tout réel \(t\) de \(\left]-\pi\,;\pi\right]\), on note \(M\) le point de \((\mathcal{C})\) tel que \(t\) soit une mesure de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right)\).

1) Donne les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\), puis justifie que \(M\) appartient à \((D)\) si, et seulement si, \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=1\).

2) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=2\cos\left(t-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

3) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=1\). Déduis-en les coordonnées des deux points d'intersection de \((D)\) et de \((\mathcal{C})\) ; on note \(E\) celui d'abscisse nulle et \(F\) l'autre.

4) Retrouve les coordonnées de \(E\) et de \(F\) par une autre méthode, en utilisant l'équation \(x^2+y^2=1\) du cercle \((\mathcal{C})\).

5) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'inéquation \(\sqrt{3}\cos t+\sin t\geq 1\). Interprète l'ensemble des solutions à l'aide des points \(E\), \(F\) et \(I\).

6) Détermine la mesure principale de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}\right)\), puis calcule la distance \(EF\).

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan orienté tels que \(\dfrac{49\pi}{8}\) soit une mesure de l'angle orienté \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)\).

1) Détermine la mesure principale de chacun des angles orientés \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)\), \(\left(-2\vec{u},3\vec{v}\right)\) et \(\left(\vec{v},\vec{u}\right)\). Justifie.

2) À l'aide des formules de linéarisation, calcule les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\) et de \(\sin\dfrac{\pi}{8}\).

3) Démontre que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).

4) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\tan x=\sqrt{2}-1\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(\cos x+\left(\sqrt{2}-1\right)\sin x=\dfrac{\cos\left(x-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}\). Résous alors dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\cos x+\left(\sqrt{2}-1\right)\sin x=1\).