Première S1-S3 · Leçon 3
Vecteurs dans l’espace
Exercices corrigés
QCM — Vecteurs, droites, plans de l'espace
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;-1;2)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(2;-3;3)$ b) $(2;3;3)$ c) $(4;1;1)$ d) $(-2;3;-3)$
2) Une droite $D$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ et passant par $A(0;1;-2)$ admet pour représentation paramétrique :
a) $\begin{cases}x=2t\\y=1-t\\z=-2+3t\end{cases}$ b) $\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=-2-3t\end{cases}$ c) $\begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-2+3t\end{cases}$ d) $\begin{cases}x=2t\\y=-1+t\\z=3-2t\end{cases}$
3) Les vecteurs $\vec u(1;2;0)$, $\vec v(0;1;1)$, $\vec w(1;5;3)$ sont :
a) coplanaires, avec $\vec w=\vec u+3\vec v$ b) coplanaires, avec $\vec w=2\vec u+\vec v$ c) non coplanaires d) colinéaires deux à deux
4) Le plan $P$ a pour équation $3x-2y+z-5=0$. Le point $M(1;2;4)$ appartient-il à $P$ ?
a) Non, car $3(1)-2(2)+4-5=-2\neq0$ b) Oui c) Non, car $M$ n'a pas 3 coordonnées d) Impossible à déterminer
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- Réponse : a. $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2;2-(-1))=(2;-3;3)$.
- Réponse : a. $x=x_A+ta=0+2t$, $y=y_A+tb=1-t$, $z=z_A+tc=-2+3t$.
- Réponse : a. On cherche $a,b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ : $1=a$, $3=b$, et on vérifie $2a+b=2+3=5$ ✓ : $\vec w=\vec u+3\vec v$.
- Réponse : a. $3(1)-2(2)+4-5=3-4+4-5=-2\neq0$ : $M\notin P$.
Situation d'intégration — Pylône de télécommunication
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un ingénieur installe un pylône de télécommunication, modélisé par une droite $D$ de l'espace. Le pied du pylône est au point $A(0;0;0)$ (au sol) et le pylône est dirigé par le vecteur $\vec u(1;2;12)$ (la troisième coordonnée représente l'altitude en mètres).
Consigne :
1) Donner une représentation paramétrique de $D$.
2) Un technicien doit fixer un hauban au point du pylône situé à $24$ m d'altitude ($z=24$). Déterminer les coordonnées $x$ et $y$ de ce point.
3) Un second pylône identique est installé au point $B(10;0;0)$, dirigé par le même vecteur $\vec u$. Les droites représentant les deux pylônes sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.
Situation d'intégration — Stockage mutualisé au marchéProblème — Intersection cercle-droite et barycentreExercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice 2 — Situation d'intégration
Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.
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- $x_G=\dfrac{2\times0+1\times12+3\times6}{2+1+3}=\dfrac{30}6=5$. $y_G=\dfrac{2\times0+1\times0+3\times9}6=\dfrac{27}6=4{,}5$. $G(5;4{,}5)$.
- $AG=\sqrt{5^2+4{,}5^2}=\sqrt{25+20{,}25}=\sqrt{45{,}25}\approx6{,}73$.
- $G'=\left(\dfrac{0+12+6}3;\dfrac{0+0+9}3\right)=(6;3)$. $G'$ est plus proche de $B$ et $C$ que $G$ ($y_{G'}=3<y_G=4{,}5$) : sans le poids fort de $C$, le point d'équilibre redescend et se décale légèrement vers la droite.
- Substitution : $x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$. $\Delta=1+48=49$. $x=\dfrac{1\pm7}2$, soit $x=4$ ou $x=-3$. Points $A(4;3)$ et $B(-3;-4)$.
- $x_G=\dfrac{3\times4+1\times(-3)}4=\dfrac94=2{,}25$. $y_G=\dfrac{3\times3+1\times(-4)}4=\dfrac54=1{,}25$. $G(2{,}25;1{,}25)$.
- La droite $(AB)$ est justement $y=x-1$ (les deux points en sont issus). On vérifie $y_G=x_G-1$ : $2{,}25-1=1{,}25=y_G$ : confirmé, $G$ est bien sur $(AB)$ — cohérent avec le fait que le barycentre de deux points est toujours situé sur la droite qui les joint.
- $G=\left(\dfrac{1\times0+1\times6+2\times0}{1+1+2}\,;\,\dfrac{1\times0+1\times0+2\times8}{1+1+2}\right)=\left(\dfrac{6}{4}\,;\,\dfrac{16}{4}\right)=(1{,}5\,;4)$.
- $GC=\sqrt{(1{,}5-0)^2+(4-8)^2}=\sqrt{2{,}25+16}=\sqrt{18{,}25}\approx4{,}27$.
- Le cercle de centre $C$ et de rayon $3$ contient les points à distance exactement $3$ de $C$. Or $GC\approx4{,}27>3$ : $G$ n'appartient pas à ce cercle.
Exercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).
1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?
Problème — Isobarycentre, colinéarité, combinaison linéaire
Problème.
Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).
Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.
Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.