Première S1-S3 · Leçon 4

Produit scalaire dans l’espace

Ce que dit le programme officiel (7 points)

Définition ; propriétés (celles de la géométrie plane pour deux vecteurs, y compris les propriétés de la norme)
Produit scalaire et orthogonalité
Base et repère orthogonaux ; base et repère orthonormaux
Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormale
Calculer un produit scalaire, une norme ; démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs
Déterminer les coordonnées d’un vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires
Limite : l’expression analytique dans un repère quelconque n’est pas exigible

Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006

Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal

Extension du produit scalaire

Le produit scalaire de l'espace prolonge celui du plan, avec les mêmes propriétés (bilinéarité, symétrie). Dans un repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), pour \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x';y';z')\) :

\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', \qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]

La distance entre \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).

Exemple

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Droites et plans orthogonaux

Deux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).

Vecteur normal, plans perpendiculaires

Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Exemple — vecteur normal et perpendicularité

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Figure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)

\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.

Projection orthogonale d'un angle droit

Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.

Piège fréquent

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