Première S1-S3 · Leçon 14
Fonction numérique d’une variable réelle : généralités
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Image directe, image réciproque d’un ensemble par une fonction (détermination graphique)
- Fonction majorée, minorée, bornée sur un intervalle
- Comparaison de deux fonctions numériques
- Opérations sur les fonctions numériques : définition
- Ensemble d’étude : fonctions paires, impaires et périodiques
- Fonctions associées à la fonction f : x ↦ f(x − a) ; x ↦ f(x) + b ; x ↦ |f(x)| ; x ↦ f(|x|)
- Fonctions composées : déterminer la composée de deux fonctions, décomposer une fonction, utiliser la composée pour étudier les variations
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Restriction, prolongement, image directe et image réciproque ; fonctions majorées, minorées, bornées
Une fonction n'est pas seulement une formule : elle est donnée avec son ensemble de départ. En changeant cet ensemble, on obtient une restriction ou un prolongement, qui peut avoir d'autres propriétés. On apprend aussi à décrire l'ensemble des valeurs prises par une fonction sur une partie, et l'ensemble des nombres qui ont leur image dans une partie donnée, puis à dire si ces valeurs restent sous un plafond ou au-dessus d'un plancher.
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\).
Image directe. Si \(A\) est une partie de \(D\), l'image directe de \(A\) par \(f\) est l'ensemble des images des éléments de \(A\) :
\[f(A)=\{f(x)\ :\ x\in A\}.\]Image réciproque. Si \(B\) est une partie de \(\mathbb R\), l'image réciproque de \(B\) par \(f\) est l'ensemble des éléments de \(D\) dont l'image appartient à \(B\) :
\[f^{-1}(B)=\{x\in D\ :\ f(x)\in B\}.\]La notation \(f^{-1}(B)\) a un sens pour toute fonction, même si \(f\) n'admet pas de réciproque. L'image réciproque d'un ensemble à un seul élément \(\{k\}\) est l'ensemble des antécédents de \(k\) ; elle peut être vide.
Lecture graphique. Pour \(f(A)\) : on regarde la partie de la courbe située au-dessus de \(A\) (sur l'axe des abscisses) et on lit les ordonnées de ses points. Pour \(f^{-1}(B)\) : on trace la bande horizontale formée par les ordonnées de \(B\), on repère la partie de la courbe qui s'y trouve et on lit les abscisses de ses points.
Soit \(f\) une fonction définie sur \(D\), et \(I\) une partie de \(D\). La restriction de \(f\) à \(I\) est la fonction définie sur \(I\) seulement, qui à \(x\) associe \(f(x)\). On la note parfois \(f_{|I}\).
Soit \(g\) une fonction définie sur \(D\), et \(E\) un ensemble qui contient \(D\). Une fonction \(G\) définie sur \(E\) est un prolongement de \(g\) à \(E\) si \(G(x)=g(x)\) pour tout \(x\) de \(D\). Autrement dit, \(g\) est la restriction de \(G\) à \(D\).
Une fonction a une seule restriction à un ensemble donné, mais en général une infinité de prolongements : on peut choisir librement les valeurs hors de \(D\). On cherche souvent un prolongement qui a une propriété voulue (une formule simple, la parité, la continuité).
Restreindre une fonction peut changer ses propriétés : la fonction carré, définie sur \(\mathbb R\), n'est pas injective, puisque \((-2)^2=2^2\) ; sa restriction à \([0\,;+\infty[\) est strictement croissante, donc injective, et c'est une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur \([0\,;+\infty[\), de réciproque la fonction racine carrée.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est majorée sur \(I\) s'il existe un réel \(M\) tel que \(f(x)\le M\) pour tout \(x\) de \(I\). Le nombre \(M\) est un majorant de \(f\) sur \(I\).
- \(f\) est minorée sur \(I\) s'il existe un réel \(m\) tel que \(f(x)\ge m\) pour tout \(x\) de \(I\). Le nombre \(m\) est un minorant.
- \(f\) est bornée sur \(I\) si elle est à la fois majorée et minorée sur \(I\).
On a l'équivalence : \(f\) est bornée sur \(I\) si et seulement s'il existe un réel \(K\) tel que \(|f(x)|\le K\) pour tout \(x\) de \(I\).
Un majorant n'est pas unique : tout nombre plus grand qu'un majorant en est un aussi. Si un majorant est atteint, c'est-à-dire s'il est égal à \(f(x_0)\) pour un \(x_0\) de \(I\), c'est le maximum de \(f\) sur \(I\). Graphiquement, \(f\) est majorée par \(M\) lorsque sa courbe est entièrement sous la droite d'équation \(y=M\).
Image directe d'un intervalle. On s'appuie sur le sens de variation sur l'intervalle, ou sur la courbe : on cherche la plus petite et la plus grande valeur prise. Attention, les bornes de \(f(A)\) ne sont pas toujours les images des bornes de \(A\).
Image réciproque. On résout l'inéquation ou l'équation correspondante : \(f^{-1}([a\,;b])\) est l'ensemble des solutions de \(a\le f(x)\le b\) dans \(D\). Graphiquement, on lit les abscisses des points de la courbe situés dans la bande \(a\le y\le b\).
Montrer que \(f\) est majorée par \(M\). On étudie le signe de \(M-f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\), souvent en le mettant sous la forme d'un carré, d'un quotient de nombres positifs ou d'une somme de termes positifs. Le majorant doit être un nombre, qui ne dépend pas de \(x\).
Montrer que \(f\) n'est pas majorée. Pour tout réel \(M\), on exhibe un \(x\) de \(I\) tel que \(f(x)\gt M\).
Énoncé. Soit \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb R\). Déterminer \(f([-1\,;2])\), \(f([1\,;3])\), puis \(f^{-1}([1\,;4])\), \(f^{-1}(\{9\})\) et \(f^{-1}([-3\,;-1])\).
Solution : Sur \([-1\,;2]\), la fonction décroît de 1 à 0 sur \([-1\,;0]\), puis croît de 0 à 4 sur \([0\,;2]\). Donc \(f([-1\,;2])=[0\,;4]\) (et non \([1\,;4]\)). Sur \([1\,;3]\), elle est croissante : \(f([1\,;3])=[f(1)\,;f(3)]=[1\,;9]\).
\(f^{-1}([1\,;4])\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(1\le x^2\le 4\), c'est-à-dire \(1\le|x|\le 2\) :
\[f^{-1}([1\,;4])=[-2\,;-1]\cup[1\,;2].\]\(f^{-1}(\{9\})=\{-3\,;3\}\) : le nombre 9 a deux antécédents. Enfin, un carré n'est jamais négatif : \(f^{-1}([-3\,;-1])=\varnothing\).
Figure — Lecture de l'image réciproque de [1 ; 4]
La courbe de la fonction carré. En bleu sur l'axe des ordonnées, l'intervalle [1 ; 4] ; les deux droites en pointillés limitent la bande correspondante. Les points de la courbe situés dans cette bande, tracés en or, ont pour abscisses les points des deux segments en or de l'axe des abscisses : c'est l'image réciproque [−2 ; −1] ∪ [1 ; 2].
Énoncé. a) Soit \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Trouver un prolongement de \(g\) à \(\mathbb R\) donné par une formule simple. b) Soit \(r(x)=\sqrt x\) sur \([0\,;+\infty[\). Déterminer le prolongement pair de \(r\) à \(\mathbb R\).
Solution : a) Pour \(x\neq 1\) : \(g(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\). La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x)=x+1\) prolonge donc \(g\) ; elle prend en 1 la valeur 2. Ce prolongement n'est pas le seul possible : la fonction égale à \(x+1\) pour \(x\neq 1\) et à 5 en 1 en est un autre : sa courbe est la droite d'équation \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), à laquelle s'ajoute le point isolé \((1\,;5)\).
b) Un prolongement pair \(R\) doit vérifier \(R(x)=\sqrt x\) pour \(x\ge 0\) et \(R(-x)=R(x)\). Pour \(x\lt 0\), on a \(-x\gt 0\), donc \(R(x)=R(-x)=\sqrt{-x}\). Les deux cas s'écrivent ensemble \(R(x)=\sqrt{|x|}\). Par exemple \(R(-4)=2\).
Inversement, la fonction carré a pour restriction à \([0\,;+\infty[\) une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur \([0\,;+\infty[\) : c'est en se restreignant ainsi que l'on définit sa réciproque, la fonction racine carrée.
Énoncé. Étudier sur \(\mathbb R\) : a) \(u(x)=\dfrac{3}{x^2+1}\) ; b) \(w(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) ; c) \(f(x)=x^2\).
Solution : a) Pour tout réel \(x\), \(x^2+1\ge 1\), donc \(0\lt\dfrac{3}{x^2+1}\le 3\). La fonction \(u\) est bornée ; 3 est son maximum, atteint en 0. Le minorant 0 n'est jamais atteint : \(u\) n'a pas de minimum.
b) Pour tout réel \(x\), \(x^2+1-2|x|=(|x|-1)^2\ge 0\), donc \(|x|\le\dfrac{x^2+1}{2}\), puis \(|w(x)|=\dfrac{|x|}{x^2+1}\le\dfrac12\). La fonction \(w\) est bornée par \(\dfrac12\) ; ce majorant est atteint, car \(w(1)=\dfrac12\), et \(w(-1)=-\dfrac12\).
c) \(x^2\ge 0\) : \(f\) est minorée par 0. Elle n'est pas majorée sur \(\mathbb R\) : pour tout réel positif \(M\), le nombre \(x=\sqrt M+1\) vérifie \(x^2\gt M\). En revanche, sa restriction à \([-2\,;1]\) est bornée : sur cet intervalle, \(0\le x^2\le 4\).
Prendre un majorant qui dépend de \(x\). Écrire \(x-1\lt x\) ne montre pas que \(x\mapsto x-1\) est majorée : un majorant est un nombre fixe, le même pour tous les \(x\) de l'intervalle.
Calculer l'image directe avec les seules bornes. \(f([-1\,;2])\) n'est pas l'intervalle d'extrémités \(f(-1)=1\) et \(f(2)=4\) : c'est \([0\,;4]\), car la fonction carré n'est pas monotone sur \([-1\,;2]\).
Oublier une partie de l'image réciproque. \(x^2\in[1\,;4]\) ne donne pas seulement \([1\,;2]\) : les réels de \([-2\,;-1]\) conviennent aussi. Sur le graphique, il faut regarder toute la bande horizontale.
Croire que la notation \(f^{-1}(B)\) suppose une réciproque. L'image réciproque existe pour toute fonction. La fonction carré n'a pas de réciproque sur \(\mathbb R\), et pourtant \(f^{-1}([1\,;4])\) est parfaitement défini.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
On rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
À partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :
• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\),
sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les
portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de
\(f\).
Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.
Composition d'applications et de fonctions
Si \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Résumé
\(f(A)\) : l'ensemble des images des éléments de \(A\) ; on lit des ordonnées.
\(f^{-1}(B)\) : les \(x\) dont l'image est dans \(B\) ; on lit des abscisses dans une bande.
Même formule, ensemble de départ plus petit ; prolongement : mêmes valeurs sur l'ensemble de départ, valeurs ajoutées ailleurs.
\(f\) est bornée sur \(I\) s'il existe un nombre \(K\) tel que \(|f(x)|\le K\) pour tout \(x\) de \(I\).
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).