Première S1-S3 · Leçon 5
Droites, plans, sphère
Ce que dit le programme officiel (16 points)
- Droites : caractérisation vectorielle, vecteur directeur ; détermination paramétrique
- Condition de parallélisme, condition d’orthogonalité de deux droites (conditions analytiques)
- Déterminer les positions relatives de deux droites grâce à leurs déterminations paramétriques, et éventuellement leur point d’intersection
- Plan : caractérisation vectorielle ; vecteur normal à un plan
- Conditions pour que deux plans soient parallèles, orthogonaux ; pour qu’une droite et un plan soient parallèles, orthogonaux
- Équation cartésienne d’un plan dans un repère orthonormal
- Démontrer vectoriellement qu’un point appartient à un plan (ABC) ; trouver un vecteur normal à un plan, une équation cartésienne d’un plan
- Détermination de l’intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan
- Projeté orthogonal d’un point sur un plan
- Distance d’un point A(α ; β ; γ) à un plan (P) : ax + by + cz + d = 0, d = |aα + bβ + cγ + d| / √(a² + b² + c²)
- Sphère : définition analytique dans un repère orthonormé ; équation cartésienne d’une sphère
- Positions relatives d’une sphère et d’un plan (en exercice : d’une sphère et d’une droite, de deux sphères)
- Lieux géométriques : plan médiateur d’un segment (définition, équation cartésienne, propriétés caractéristiques)
- Ensemble des points équidistants de trois points non alignés
- Surfaces de niveau, généralisation des lignes de niveau du plan : U · OM = k ; MA · MB = k ; MA/MB = k ; α·MA² + β·MB² = k
- Limite : la détermination paramétrique d’un plan n’est pas exigible
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite \(D\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et dirigée par \(\vec u(a;b;c)\) admet pour représentation paramétrique, \(t\in\mathbb R\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \end{cases} \]Chaque valeur de \(t\) donne un point de \(D\) ; \(t=0\) redonne \(A\).
Droite \(D\) passant par \(A(1;-2;3)\), dirigée par \(\vec u(2;1;-1)\) : \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\). Pour \(t=1\) : le point \((3;-1;2)\) appartient à \(D\).
Le plan \(P\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de vecteurs directeurs \(\vec u(a_1;b_1;c_1)\) et \(\vec v(a_2;b_2;c_2)\) non colinéaires, admet pour représentation paramétrique, \((t,t')\in\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta_1+t'a_2 \\ y=y_A+tb_1+t'b_2 \\ z=z_A+tc_1+t'c_2 \end{cases} \]\(P\) admet aussi une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\), où \((\alpha;\beta;\gamma)\neq(0;0;0)\). Un point \(M(x;y;z)\) appartient à \(P\) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Plan \(P:\ 2x-y+3z-4=0\). Le point \(M(1;0;\tfrac23)\) : on remplace, \(2(1)-0+3(\tfrac23)-4=2+2-4=0\) ✓ : \(M\in P\). Le point \(N(1;1;1)\) : \(2-1+3-4=0\) ✓ : \(N\in P\) également.
Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles — la droite est alors incluse dans le plan ou strictement en dehors. Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints). Une projection sur un plan parallèlement à une droite (ou sur une droite parallèlement à un plan) conserve l'équipollence des bipoints, le parallélisme, l'alignement et les milieux.
- Deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être non coplanaires (« gauches »), cas qui n'existe pas dans le plan.
- Pour qu'une droite soit incluse dans un plan, il ne suffit pas qu'elle lui soit parallèle : il faut en plus qu'un de ses points appartienne au plan.
Deux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresDistance d'un point à un plan, projeté orthogonal
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Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
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Voir les offresSphère : équation, sections planes, plan tangent
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à distance \(R\) de \(O\). Soit \(P\) un plan et \(d\) la distance de \(O\) à \(P\) :
• si \(d<R\), \(P\) coupe la sphère selon un cercle de
rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (plan sécant) ;
• si \(d=R\), \(P\) coupe la sphère en un unique point \(T\)
(plan tangent en \(T\), orthogonal au rayon \(OT\)) ;
• si \(d>R\), \(P\) ne rencontre pas la sphère (plan
extérieur).
Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=5\). Un plan \(P\) est situé à distance \(d=3\) de \(O\) : \(P\) est sécant, et coupe la sphère selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).
Figure interactive — Coupe d'une sphère de rayon 5 par un plan à distance \(d\)
Faites glisser \(d\) : sécant si \(d<5\), tangent si \(d=5\), extérieur si \(d>5\).
Résumé
Orthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
\(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) avec \(a,b,c\) non tous nuls.
\((x_A+ta,\ y_A+tb,\ z_A+tc)\), point + vecteur directeur.
Paramétrique (point + 2 vecteurs) ou cartésienne \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\).
Non parallèles et non sécantes — spécifique à l'espace.
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.
Question 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A(0;1;2)\) et \(B(3;-1;1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3;-2;-1)\) dirige \(D\) : \(x=3t,\ y=1-2t,\ z=2-t\), \(t\in\mathbb R\).
Question 2. Le point \(C(1;1;2)\) appartient-il au plan \(P:\ x+2y-z-1=0\) ?
\(1+2(1)-2-1=1+2-2-1=0\) ✓ : \(C\in P\).
Question 3. Les vecteurs \(\vec u(1;1;0)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;4;2)\) sont-ils coplanaires ?
Cherchons \(a,b\) : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne \(2=a\), \(4=a+b\Rightarrow b=2\), \(2=b=2\) ✓. Cohérent sur les trois coordonnées : oui, coplanaires (\(\vec w=2\vec u+2\vec v\)).
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