Première S1-S3 · Leçon 7
Statistique : série à deux variables
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Étude d’un exemple : nuage de points, points moyens, covariance
- Ajustement linéaire à main levée, puis par la méthode de Mayer
- Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés : droite de régression de y en x, droite de régression de x en y
- Coefficient de corrélation : le calculer et l’interpréter
- Utiliser la droite de régression pour faire des extrapolations ou des interpolations linéaires
- Limite : on se limite à l’étude des séries injectives
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Série double : nuage de points et point moyen
La taille et la masse d'un enfant, le prix d'un produit et la quantité vendue, le mois et le chiffre d'affaires : dans bien des situations, on relève deux grandeurs sur les mêmes individus et l'on se demande si l'une dépend de l'autre. La première étape est toujours la même : représenter les données et repérer leur « centre ».
Une série statistique à deux variables (ou série double) associe à chacun des \(n\) individus d'une population un couple de nombres \((x_i\,;y_i)\), valeurs de deux caractères \(x\) et \(y\).
Nuage de points. Dans un repère, on place les \(n\) points \(M_i(x_i\,;y_i)\). Leur ensemble est le nuage de points de la série. Sa forme renseigne sur le lien entre les deux caractères : points à peu près alignés, courbe, ou points dispersés sans forme.
Point moyen. C'est le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes des deux caractères :
\[G(\bar x\,;\bar y),\qquad \bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad \bar y=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}.\]Le point moyen est le barycentre des points du nuage affectés du même coefficient : c'est le « centre de gravité » du nuage.
Tracer le nuage. On choisit pour chaque axe une échelle adaptée à l'étendue des valeurs (les deux échelles peuvent être différentes, et l'origine peut ne pas être en 0), puis on place un point par individu, sans relier les points.
Calculer le point moyen. On calcule séparément la moyenne des \(x_i\) et celle des \(y_i\), puis on place \(G\) sur le graphique, avec une marque différente.
Partager le nuage. Si l'on sépare le nuage en deux groupes, chaque groupe a son propre point moyen ; le point moyen de l'ensemble est le barycentre de ces deux points, affectés des effectifs des groupes.
Énoncé. On considère la série suivante. Représenter le nuage de points et calculer les coordonnées du point moyen.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : On place les points \((1\,;2)\), \((2\,;4)\), \((3\,;5)\), \((4\,;4)\) et \((5\,;5)\). \(\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3\) et \(\bar y=\dfrac{2+4+5+4+5}{5}=4\). Le point moyen est \(G(3\,;4)\).
Le nuage a une forme allongée et « monte » de la gauche vers la droite : quand \(x\) augmente, \(y\) a tendance à augmenter.
Figure — Le nuage de l'exemple 1 et son point moyen
Les cinq points de la série sont marqués en bleu marine. Le point moyen G(3 ; 4), en or, se trouve au cœur du nuage ; les deux droites en pointillés qui s'y croisent ont pour équations x = 3 et y = 4.
Énoncé. Un commerçant a noté ses ventes (en centaines d'articles) pendant six mois. Calculer le point moyen \(G\) du nuage, puis les points moyens \(G_1\) des trois premiers mois et \(G_2\) des trois derniers. Que constate-t-on ?
| Mois \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes \(y_i\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 | 14 |
Solution : \(\bar x=\dfrac{21}{6}=3{,}5\) et \(\bar y=\dfrac{48}{6}=8\) : \(G(3{,}5\,;8)\). Pour les trois premiers mois : \(G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\dfrac{3+5+7}{3}\right)\), soit \(G_1(2\,;5)\). Pour les trois derniers : \(G_2\left(\dfrac{4+5+6}{3}\,;\dfrac{9+10+14}{3}\right)\), soit \(G_2(5\,;11)\).
Le point \(G\) est le milieu de \([G_1G_2]\) : \(\dfrac{2+5}{2}=3{,}5\) et \(\dfrac{5+11}{2}=8\). C'est normal : les deux groupes ont le même effectif.
Relier les points. Un nuage de points n'est pas une courbe : on ne joint pas les points entre eux.
Échanger les deux caractères. L'abscisse est toujours la valeur du caractère \(x\), l'ordonnée celle de \(y\) ; le point \((2\,;4)\) n'est pas le point \((4\,;2)\).
Croire que le point moyen appartient au nuage. En général, \(G\) n'est aucun des points de la série : dans l'exemple 1, aucun individu n'a pour valeurs 3 et 4.
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
Un nuage peut être très allongé, presque rectiligne, ou au contraire dispersé. Pour mesurer par un nombre à quel point deux caractères varient « ensemble », on utilise la covariance, puis le coefficient de corrélation, qui ne dépend plus des unités choisies.
Pour une série double \((x_i\,;y_i)\) d'effectif \(n\), de point moyen \(G(\bar x\,;\bar y)\) :
Variances. \(V(x)=\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^{\,2}\) et \(V(y)=\dfrac1n\sum y_i^2-\bar y^{\,2}\) ; les écarts-types sont \(\sigma_x=\sqrt{V(x)}\) et \(\sigma_y=\sqrt{V(y)}\).
Covariance. C'est la moyenne des produits des écarts aux moyennes :
\[\operatorname{cov}(x,y)=\frac1n\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\frac1n\sum x_iy_i-\bar x\,\bar y.\]Coefficient de corrélation linéaire. Si les deux écarts-types ne sont pas nuls,
\[r=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}.\]Signe de la covariance. Si elle est positive, les deux caractères varient plutôt dans le même sens (le nuage « monte ») ; si elle est négative, ils varient plutôt en sens contraires (le nuage « descend »).
Propriété (admise). On a toujours \(-1\leq r\leq 1\), et \(r\) a le signe de la covariance. De plus \(r=1\) ou \(r=-1\) si et seulement si tous les points du nuage sont alignés.
Interprétation. Plus \(|r|\) est proche de 1, plus les points sont proches d'une droite : on dit que la corrélation linéaire est forte, et un ajustement par une droite est justifié. Si \(|r|\) est proche de 0, il n'y a pas de lien linéaire entre les deux caractères. Le nombre \(r\) n'a pas d'unité.
On dresse un tableau avec les lignes \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\) et \(x_iy_i\), et l'on calcule la somme de chaque ligne. On en tire \(\bar x\), \(\bar y\), puis \(V(x)\), \(V(y)\) et la covariance par les formules « moyenne des produits moins produit des moyennes ».
On calcule enfin \(r\) en divisant la covariance par le produit des deux écarts-types, et l'on commente : signe, puis proximité de 1 en valeur absolue. La calculatrice, en mode statistique, donne directement ces résultats ; elle sert de contrôle.
Énoncé. Calculer la covariance et le coefficient de corrélation de la série suivante.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : \(\bar x=3\) et \(\bar y=4\). \(\sum x_i^2=55\), donc \(V(x)=\dfrac{55}{5}-9=2\). \(\sum y_i^2=4+16+25+16+25=86\), donc \(V(y)=\dfrac{86}{5}-16=1{,}2\). \(\sum x_iy_i=2+8+15+16+25=66\), donc \(\operatorname{cov}(x,y)=\dfrac{66}{5}-3\times 4=1{,}2\).
\(r=\dfrac{1{,}2}{\sqrt{2\times 1{,}2}}=\dfrac{1{,}2}{\sqrt{2{,}4}}\approx 0{,}77\). La covariance est positive : les deux caractères varient plutôt dans le même sens. La corrélation est assez forte, sans être très forte : les points sont proches d'une droite, mais pas alignés.
Figure — Pourquoi la covariance de l'exemple 1 est positive
Les droites en pointillés passant par G partagent le plan en quatre zones. Dans les zones vertes (en haut à droite et en bas à gauche), le produit des deux écarts aux moyennes est positif ; dans les deux autres, il est négatif. Ici, les points qui ne sont pas sur les pointillés sont tous dans les zones vertes : la covariance est positive.
Énoncé. Pour la série \((1\,;3)\), \((2\,;5)\), \((3\,;7)\), \((4\,;9)\), calculer le coefficient de corrélation. Pouvait-on prévoir le résultat ?
Solution : \(\bar x=2{,}5\) et \(\bar y=6\). \(V(x)=\dfrac{1+4+9+16}{4}-6{,}25=1{,}25\) ; \(V(y)=\dfrac{9+25+49+81}{4}-36=5\) ; \(\operatorname{cov}(x,y)=\dfrac{3+10+21+36}{4}-2{,}5\times 6=17{,}5-15=2{,}5\).
\(r=\dfrac{2{,}5}{\sqrt{1{,}25\times 5}}=\dfrac{2{,}5}{2{,}5}=1\). On pouvait le prévoir : les quatre points vérifient \(y=2x+1\), ils sont alignés sur une droite qui monte.
Confondre corrélation et cause. Un coefficient proche de 1 dit que les deux caractères varient ensemble, pas que l'un est la cause de l'autre : tous deux peuvent dépendre d'un troisième facteur.
Croire que \(r\) proche de 0 signifie « aucun lien ». Pour la série \((-2\,;4)\), \((-1\,;1)\), \((0\,;0)\), \((1\,;1)\), \((2\,;4)\), la covariance est nulle, donc \(r=0\) ; pourtant \(y=x^2\) exactement. Le coefficient ne mesure que le lien linéaire.
Oublier de retrancher le produit des moyennes. La covariance n'est pas la moyenne des produits \(x_iy_i\) : dans l'exemple 1, cette moyenne vaut 13,2 et la covariance 1,2.
Ajustement affine par la méthode de Mayer
Lorsque les points d'un nuage sont à peu près alignés, on résume le nuage par une droite : c'est un ajustement affine. La droite permet de lire une tendance et de faire des prévisions. On peut la tracer « à l'œil », mais deux personnes ne traceront pas la même : la méthode de Mayer donne une règle simple, la même pour tous.
Ajuster un nuage par une droite, c'est choisir une droite qui passe « au plus près » des points. À main levée, on trace à la règle une droite qui laisse à peu près autant de points de chaque côté ; on la fait passer par le point moyen \(G\).
Méthode de Mayer. On range les points par abscisses croissantes et on partage le nuage en deux groupes de même effectif (à une unité près si \(n\) est impair). On calcule le point moyen \(G_1\) du premier groupe et le point moyen \(G_2\) du second. La droite de Mayer est la droite \((G_1G_2)\).
Propriété. La droite de Mayer passe par le point moyen \(G\) du nuage entier, car \(G\) est le barycentre de \(G_1\) et \(G_2\) affectés des effectifs des deux groupes.
1. Ranger les points par abscisses croissantes et former les deux groupes. 2. Calculer les coordonnées de \(G_1\) et de \(G_2\). 3. Calculer le coefficient directeur \(a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}\), puis l'ordonnée à l'origine \(b=y_{G_1}-a\,x_{G_1}\). 4. Contrôler que \(G\) vérifie l'équation \(y=ax+b\).
Prévoir. Pour estimer \(y\) connaissant \(x\), on remplace \(x\) dans l'équation. Si \(x\) est entre deux valeurs observées, c'est une interpolation ; s'il est au-delà, c'est une extrapolation, d'autant moins sûre qu'on s'éloigne des données.
Énoncé. Déterminer une équation de la droite de Mayer de la série suivante (ventes en centaines d'articles), puis estimer les ventes du huitième mois.
| Mois \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes \(y_i\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 | 14 |
Solution : Premier groupe (mois 1 à 3) : \(G_1(2\,;5)\). Second groupe (mois 4 à 6) : \(G_2(5\,;11)\). Le coefficient directeur est \(a=\dfrac{11-5}{5-2}=2\) et \(b=5-2\times 2=1\). La droite de Mayer a pour équation \(y=2x+1\).
Contrôle : le point moyen \(G(3{,}5\,;8)\) vérifie \(2\times 3{,}5+1=8\). Pour le huitième mois, \(y=2\times 8+1=17\) : on peut prévoir environ 1 700 articles, si la tendance se maintient. C'est une extrapolation.
Figure — La droite de Mayer de l'exemple 1
Les six points de la série sont en bleu marine. Les points moyens des deux groupes, G1(2 ; 5) et G2(5 ; 11), sont en or : la droite de Mayer, d'équation y = 2x + 1, passe par ces deux points et par le point moyen G(3,5 ; 8) du nuage entier, marqué en bleu.
Énoncé. Déterminer la droite de Mayer de la série suivante en prenant les trois premiers points, puis les deux derniers.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : Premier groupe : \(G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\dfrac{2+4+5}{3}\right)\), soit \(G_1\left(2\,;\dfrac{11}{3}\right)\). Second groupe : \(G_2\left(\dfrac{4+5}{2}\,;\dfrac{4+5}{2}\right)\), soit \(G_2(4{,}5\,;4{,}5)\).
\(a=\dfrac{4{,}5-\frac{11}{3}}{4{,}5-2}=\dfrac{\frac56}{\frac52}=\dfrac13\) et \(b=4{,}5-\dfrac13\times 4{,}5=3\). La droite de Mayer a pour équation \(y=\dfrac13x+3\). Contrôle avec le point moyen \(G(3\,;4)\) : \(\dfrac13\times 3+3=4\).
Former les groupes sans ranger les points. Les deux groupes se font selon l'ordre des abscisses : les plus petites d'un côté, les plus grandes de l'autre.
Croire que la droite passe par des points du nuage. Elle passe par \(G_1\), \(G_2\) et \(G\), qui ne sont en général pas des points de la série.
Extrapoler trop loin. Rien ne garantit que la tendance observée sur six mois durera trois ans : une prévision n'a de valeur que près des données.
Ajustement par les moindres carrés et prévisions
Parmi toutes les droites qui traversent un nuage, laquelle est « la meilleure » ? La méthode des moindres carrés répond par un critère précis : c'est celle pour laquelle la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite est la plus petite possible. Ses coefficients s'obtiennent par deux formules.
Soit une série double de point moyen \(G(\bar x\,;\bar y)\), avec \(V(x)\neq 0\) et \(V(y)\neq 0\).
Droite de régression de \(y\) en \(x\) (admis). C'est la droite \((D)\) d'équation \(y=ax+b\) avec
\[a=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\qquad\text{et}\qquad b=\bar y-a\,\bar x.\]Elle rend minimale la somme des carrés des écarts \(y_i-(ax_i+b)\), mesurés parallèlement à l'axe des ordonnées. On l'utilise pour estimer \(y\) à partir de \(x\).
Droite de régression de \(x\) en \(y\). C'est la droite \((D')\) d'équation \(x=a'y+b'\) avec \(a'=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(y)}\) et \(b'=\bar x-a'\,\bar y\). On l'utilise pour estimer \(x\) à partir de \(y\).
Propriétés. Les deux droites passent par le point moyen \(G\). De plus \(a\times a'=r^2\), où \(r\) est le coefficient de corrélation : plus \(|r|\) est proche de 1, plus les deux droites sont proches l'une de l'autre ; elles sont confondues lorsque \(|r|=1\).
1. Calculer \(\bar x\), \(\bar y\), \(V(x)\), \(V(y)\) et \(\operatorname{cov}(x,y)\). 2. En déduire \(a\) puis \(b\) (et, si on le demande, \(a'\) puis \(b'\)). 3. Vérifier que \(G\) est sur la droite, puis la tracer en plaçant \(G\) et un second point.
Prévoir. Pour estimer \(y\) connaissant \(x\), on utilise \((D)\) ; pour estimer \(x\) connaissant \(y\), on utilise \((D')\). On précise s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, et l'on garde à l'esprit le coefficient de corrélation : si \(|r|\) est faible, la prévision n'a guère de valeur.
Énoncé. Pour la série suivante, on a trouvé \(\bar x=3\), \(\bar y=4\), \(V(x)=2\), \(V(y)=1{,}2\) et \(\operatorname{cov}(x,y)=1{,}2\). Déterminer les droites de régression de \(y\) en \(x\) et de \(x\) en \(y\).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : \(a=\dfrac{1{,}2}{2}=0{,}6\) et \(b=4-0{,}6\times 3=2{,}2\) : la droite \((D)\) a pour équation \(y=0{,}6x+2{,}2\).
\(a'=\dfrac{1{,}2}{1{,}2}=1\) et \(b'=3-1\times 4=-1\) : la droite \((D')\) a pour équation \(x=y-1\), c'est-à-dire \(y=x+1\). Les deux droites passent par \(G(3\,;4)\) : \(0{,}6\times 3+2{,}2=4\) et \(4-1=3\).
On retrouve le coefficient de corrélation : \(r^2=a\times a'=0{,}6\), donc \(r=\sqrt{0{,}6}\approx 0{,}77\) (positif, comme la covariance).
Figure — Les deux droites de régression de l'exemple 1
En or, la droite de régression de y en x, d'équation y = 0,6x + 2,2 ; en bleu, la droite de régression de x en y, d'équation x = y − 1. Elles se coupent au point moyen G(3 ; 4). Elles ne sont pas confondues, car le coefficient de corrélation, voisin de 0,77, n'est pas égal à 1.
Énoncé. Avec les droites de l'exemple 1 : a) estimer \(y\) pour \(x=7\) ; b) estimer \(x\) pour \(y=6\) ; c) dire, pour chaque estimation, s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation.
Solution : a) On utilise \((D)\) : \(y=0{,}6\times 7+2{,}2=6{,}4\). b) On utilise \((D')\) : \(x=6-1=5\).
c) Les valeurs observées de \(x\) vont de 1 à 5 : \(x=7\) est en dehors, c'est une extrapolation. Les valeurs observées de \(y\) vont de 2 à 5 : \(y=6\) est en dehors, c'est aussi une extrapolation. Dans les deux cas, on suppose que la tendance se prolonge ; avec une corrélation de 0,77 seulement, ces estimations restent grossières.
Confondre les deux droites. Pour estimer \(x\) à partir de \(y\), on n'« inverse » pas l'équation de \((D)\) : on utilise \((D')\). Dans l'exemple 2, inverser \((D)\) donnerait \(x=\dfrac{6-2{,}2}{0{,}6}\approx 6{,}3\), et non 5.
Diviser par la mauvaise variance. Pour \((D)\), on divise la covariance par \(V(x)\) ; pour \((D')\), par \(V(y)\).
Ajuster par une droite un nuage qui n'est pas allongé. Les formules donnent toujours une droite, même si les points sont dispersés ou disposés en courbe : on regarde d'abord le nuage et la valeur de \(r\).
Résumé
À chaque individu, un couple \((x_i\,;y_i)\) de valeurs.
Les points \(M_i(x_i\,;y_i)\) placés dans un repère, sans les relier.
\(G(\bar x\,;\bar y)\) : les moyennes des deux caractères.
\(\operatorname{cov}(x,y)=\dfrac1n\sum x_iy_i-\bar x\,\bar y\).
\(r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}\), toujours entre \(-1\) et \(1\).
\(|r|\) proche de 1 : points presque alignés. Signe de \(r\) : sens de la pente.
Deux groupes de même effectif, selon les abscisses ; points moyens \(G_1\) et \(G_2\).
La droite \((G_1G_2)\) ; elle passe par le point moyen \(G\).
On remplace \(x\) dans \(y=ax+b\) : interpolation ou extrapolation.
\(y=ax+b\) avec \(a=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\) et \(b=\bar y-a\bar x\).
\(x=a'y+b'\) avec \(a'=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(y)}\) et \(b'=\bar x-a'\bar y\).
Les deux droites passent par \(G\) ; \(a\times a'=r^2\).