Première S1-S3 · Leçon 15
Limite et continuité
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Limite d’une fonction en x₀ (approche intuitive) ; notation
- Limite à gauche, limite à droite
- Extension de la notion de limite (limite infinie, limite à l’infini)
- Opérations sur les limites (théorèmes admis)
- Calculer la limite d’une fonction en un point fini ou non ; limite de sin x / x en 0
- Continuité d’une fonction en x₀ ; continuité à droite, continuité à gauche
- Prolongement par continuité d’une fonction en x₀
- Continuité sur un intervalle (théorèmes généraux admis)
- Image d’un intervalle par une fonction continue (admis : c’est un intervalle)
- Théorème des valeurs intermédiaires : justifier qu’un réel d’un intervalle [m ; M] admet un antécédent
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Prolongement et recollement par continuité
Il arrive souvent qu’une fonction soit donnée par une formule qui n’a pas de sens en un point précis, ou bien par plusieurs formules sur des intervalles différents. Dans ces situations, on cherche à savoir si l’on peut compléter la définition de la fonction sans créer de rupture. Le prolongement et le recollement par continuité servent précisément à construire une fonction continue à partir d’expressions partielles.
Soit une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(D\), et soit \(E\) un ensemble tel que \(D \subset E\). On dit qu’une fonction \(g\) définie sur \(E\) est un prolongement de \(f\) à \(E\) lorsque, pour tout \(x \in D\), on a \(g(x)=f(x)\). Autrement dit, \(g\) coïncide avec \(f\) sur l’ensemble où \(f\) était déjà définie ; elle ajoute seulement de nouvelles valeurs sur \(E\setminus D\).
On parle de prolongement par continuité en un point \(a\) lorsque la fonction n’était pas définie en \(a\), mais qu’il existe une valeur à donner à \(f(a)\) pour obtenir une fonction continue en \(a\). En pratique, si les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent d’un même nombre \(\ell\) lorsque \(x\) se rapproche de \(a\), alors on définit la nouvelle fonction \(g\) par \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et \(g(a)=\ell\).
Le recollement par continuité concerne une fonction définie par morceaux. Supposons par exemple qu’une expression soit donnée à gauche d’un nombre \(a\), et une autre à droite. Recoler par continuité en \(a\), c’est choisir les valeurs au point de raccord, ou les paramètres éventuels, de sorte qu’il n’y ait pas de saut sur la courbe. Graphiquement, la courbe doit se rejoindre sans trou ni cassure au point d’abscisse \(a\).
1) Unicité du prolongement par continuité. S’il existe un prolongement par continuité d’une fonction en un point \(a\), alors ce prolongement est unique en ce point. En effet, la continuité impose nécessairement la valeur à donner : cette valeur doit être égale au nombre vers lequel \(f(x)\) tend quand \(x\) s’approche de \(a\). On ne peut donc pas choisir deux valeurs différentes.
2) Critère pratique de prolongement. Si, pour \(x\neq a\), on peut transformer l’expression de \(f(x)\) en une expression \(\varphi(x)\) définie et continue en \(a\), alors on obtient le prolongement par continuité en posant \(g(a)=\varphi(a)\). C’est le cas classique des formes du type \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\), qui se simplifient en \(x+3\) pour \(x\neq 3\).
3) Critère de recollement en un point. Si une fonction \(h\) est définie par une expression à gauche de \(a\) et une autre à droite de \(a\), alors pour que \(h\) soit continue en \(a\), il faut que les deux côtés donnent la même valeur au raccord. En termes usuels : la valeur obtenue à gauche, la valeur au point \(a\) s’il y en a une, et la valeur obtenue à droite doivent coïncider. Si l’une des deux expressions vaut \(2\) au raccord et l’autre \(5\), aucun recollement continu n’est possible.
Idée de justification. La continuité signifie qu’au voisinage de \(a\), les valeurs de la fonction restent proches d’une seule et même valeur. S’il y avait deux valeurs différentes selon le côté d’où l’on approche \(a\), la courbe présenterait une rupture ; on ne pourrait donc pas parler de continuité au point de raccord.
Pour prolonger une fonction par continuité en un point :
- Repère le point où la fonction n’est pas définie, par exemple \(a\).
- Travaille l’expression algébrique pour \(x\neq a\) : factorisation, simplification, mise sous une forme connue.
- Cherche la valeur que prendrait naturellement l’expression au point \(a\) si la simplification restait valable. Cette valeur est la seule candidate possible.
- Définis une nouvelle fonction \(g\) en gardant \(g(x)=f(x)\) pour \(x\neq a\) et en posant \(g(a)\) égal à la valeur trouvée.
- Conclue en expliquant pourquoi \(g\) est continue : le plus souvent, \(g\) coïncide alors avec une expression simple continue sur tout l’intervalle.
Pour recoller une fonction définie par morceaux :
- Repère le ou les points de raccord.
- Calcule la valeur donnée par l’expression de gauche au point de raccord, ou la valeur vers laquelle elle conduit.
- Calcule de même la valeur donnée par l’expression de droite.
- Impose l’égalité de ces valeurs. S’il y a un paramètre, on résout l’équation obtenue ; s’il y a plusieurs paramètres, on obtient souvent un système.
- Vérifie enfin que la fonction ainsi obtenue ne présente aucune rupture au point considéré.
Le réflexe essentiel est donc : au point de raccord, tout doit coïncider.
Énoncé. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\). Détermine un prolongement de \(f\) à \(\mathbb{R}\) qui soit continu en \(3\).
Solution : Pour \(x\neq 3\), on factorise le numérateur :
\[x^2-9=(x-3)(x+3).\]
Donc, pour \(x\neq 3\),
\[f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.\]
Ainsi, sur son domaine de définition, la fonction \(f\) coïncide avec la fonction \(x\mapsto x+3\). Or cette dernière est définie et continue pour tout réel, en particulier en \(x=3\). On calcule alors la valeur à donner au point manquant :
\[3+3=6.\]
On définit donc la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par
\[g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3} & \text{si } x\neq 3,\\6 & \text{si } x=3.\end{cases}\]
Comme, pour tout réel \(x\), on a en réalité \(g(x)=x+3\), la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). C’est le prolongement par continuité de \(f\) en \(3\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresErreur 1 : croire qu’un prolongement consiste à mettre n’importe quelle valeur au point manquant. C’est faux. Si \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq 1\), alors pour \(x\neq 1\), on a \(f(x)=x+1\). Le prolongement par continuité impose donc la valeur \(2\) en \(1\). Si tu définis au contraire \(g(1)=5\), tu obtiens bien un prolongement au sens large, mais pas un prolongement par continuité, car il reste une rupture en \(1\).
Erreur 2 : ne vérifier qu’un seul côté au point de raccord. Pour une fonction définie par morceaux, il faut comparer les deux côtés. Par exemple, si
\[u(x)=\begin{cases}x+1 & \text{si } x<0,\\x+2 & \text{si } x\ge 0,\end{cases}\]
alors à gauche de \(0\), on obtient \(1\), tandis qu’à droite et au point \(0\), on obtient \(2\). Les deux valeurs ne coïncident pas ; il y a donc un saut, et aucun recollement continu n’est possible avec cette définition.
Erreur 3 : simplifier une expression puis oublier la condition \(x\neq a\). Quand on écrit \(\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), cette égalité n’est valable que pour \(x\neq 3\). C’est seulement ensuite que l’on ajoute la valeur manquante pour construire le prolongement.
Un bon réflexe est de chercher si la difficulté vient seulement d’un facteur qui s’annule au dénominateur. Très souvent, une factorisation permet de faire apparaître une expression plus simple, définie au point problématique. Quand c’est le cas, cette expression simple donne immédiatement la valeur du prolongement par continuité.
Graphiquement, un prolongement par continuité correspond souvent à un trou sur une courbe que l’on peut combler par un seul point. Un recollement par continuité correspond à deux morceaux de courbe qui doivent se rejoindre exactement au point de raccord. Si tu vois un saut vertical ou une cassure, le recollement n’est pas continu.
Enfin, lorsqu’il y a plusieurs paramètres, pense à écrire une condition de continuité pour chaque point de raccord. On obtient alors une ou plusieurs équations à résoudre de façon organisée.
Théorème des valeurs intermédiaires
La courbe d'une fonction continue sur un intervalle se trace sans lever le crayon. Si elle part d'un point situé sous une droite horizontale et arrive à un point situé au-dessus, elle coupe forcément cette droite. Cette idée simple porte un nom : le théorème des valeurs intermédiaires. Il permet d'affirmer qu'une équation a une solution, même quand on ne sait pas la calculer.
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle contenu dans son ensemble de définition. L'image de \(I\) par \(f\), notée \(f(I)\), est l'ensemble de tous les nombres \(f(x)\) lorsque \(x\) décrit \(I\).
Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Cas d'un intervalle fermé borné (admis). Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors \(f\) possède sur \([a\,;b]\) un minimum \(m\) et un maximum \(M\), et
\[f([a\,;b])=[m\,;M].\]Attention : \(m\) et \(M\) ne sont pas toujours \(f(a)\) et \(f(b)\). Pour la fonction carré sur \([-1\,;2]\), on a \(f(-1)=1\) et \(f(2)=4\), mais l'image est \([0\,;4]\), car le minimum 0 est atteint en 0.
Cas d'une fonction monotone. Si \(f\) est continue et croissante sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[f(a)\,;f(b)]\). Si elle est continue et décroissante sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[f(b)\,;f(a)]\).
Théorème. Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) de \([a\,;b]\) tel que \(f(c)=k\).
Autrement dit, l'équation \(f(x)=k\) a au moins une solution dans \([a\,;b]\) : la fonction ne peut pas passer de \(f(a)\) à \(f(b)\) sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. C'est une conséquence du théorème précédent : \(f([a\,;b])\) est un intervalle qui contient \(f(a)\) et \(f(b)\), donc tous les nombres compris entre eux.
Forme générale. Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), de minimum \(m\) et de maximum \(M\), alors tout réel \(k\) de \([m\,;M]\) admet au moins un antécédent par \(f\) dans \([a\,;b]\).
Cas particulier très utilisé. Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, c'est-à-dire \(f(a)\times f(b)\lt 0\), alors l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \(]a\,;b[\).
Unicité. Si, de plus, \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\), la solution est unique : une fonction strictement croissante (ou strictement décroissante) ne prend jamais deux fois la même valeur.
Pour l'existence. On écrit l'équation sous la forme \(f(x)=k\) (souvent \(f(x)=0\), en regroupant tout dans un seul membre). Puis on rédige trois points :
- la fonction \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (somme, produit ou composée de fonctions continues) ;
- on calcule \(f(a)\) et \(f(b)\) ;
- \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
On conclut par le théorème des valeurs intermédiaires. Si l'on connaît le minimum \(m\) et le maximum \(M\) de \(f\) sur \([a\,;b]\), il suffit de vérifier que \(k\) appartient à \([m\,;M]\).
Pour l'unicité. On montre que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\), par exemple parce qu'elle est la somme de deux fonctions strictement croissantes.
Pour encadrer la solution. On calcule l'image du milieu de l'intervalle : selon son signe, la solution est dans la moitié gauche ou dans la moitié droite. On recommence dans cette moitié. On peut aussi balayer l'intervalle avec la calculatrice, avec un pas de 0,1 puis de 0,01, et repérer le changement de signe.
Énoncé. Soit \(f(x)=x^3+x-1\). a) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) a une solution unique \(\alpha\) dans \([0\,;1]\). b) Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,01.
Solution : a) \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \([0\,;1]\). On calcule \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\). Le nombre 0 est compris entre \(-1\) et \(1\) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \([0\,;1]\).
Les fonctions \(x\mapsto x^3\) et \(x\mapsto x-1\) sont strictement croissantes sur \([0\,;1]\) ; leur somme \(f\) l'est aussi. La solution est donc unique. On la note \(\alpha\).
b) \(f(0{,}5)=-0{,}375\) est négatif et \(f(1)\) est positif : \(\alpha\) est dans \(]0{,}5\,;1[\). Puis \(f(0{,}75)\approx 0{,}172\) est positif : \(\alpha\) est dans \(]0{,}5\,;0{,}75[\). En balayant avec un pas de 0,01, on trouve \(f(0{,}68)\approx -0{,}006\) et \(f(0{,}69)\approx 0{,}019\). Ces deux images sont de signes contraires, donc
\[0{,}68\lt\alpha\lt 0{,}69.\]Figure — La courbe de l'exemple 1 coupe l'axe des abscisses
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 sur l'intervalle [0 ; 1]. Elle part du point A(0 ; −1), situé sous l'axe des abscisses, et arrive au point B(1 ; 1), situé au-dessus. Comme elle se trace sans lever le crayon, elle coupe l'axe : le point marqué en or a pour abscisse la solution α, comprise entre 0,68 et 0,69.
Énoncé. Soit \(g(x)=x^2-2x\) sur \([0\,;3]\). a) Déterminer l'image de \([0\,;3]\) par \(g\). b) Les réels 2, \(-0{,}5\) et 4 ont-ils un antécédent par \(g\) dans \([0\,;3]\) ?
Solution : a) \(g(x)=(x-1)^2-1\). La fonction \(g\) est donc décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;3]\) : son minimum sur \([0\,;3]\) est \(g(1)=-1\). Comme \(g(0)=0\) et \(g(3)=3\), son maximum est 3. La fonction \(g\) est continue sur \([0\,;3]\), donc \(g([0\,;3])=[-1\,;3]\).
b) Le réel 2 appartient à \([-1\,;3]\) : il a au moins un antécédent dans \([0\,;3]\). On peut ici le calculer : \((x-1)^2=3\) donne \(x=1+\sqrt3\approx 2{,}73\) (l'autre valeur, \(1-\sqrt3\), est négative).
Le réel \(-0{,}5\) appartient aussi à \([-1\,;3]\) : il a au moins un antécédent. En fait il en a deux, car \((x-1)^2=0{,}5\) donne \(x=1-\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 0{,}29\) et \(x=1+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 1{,}71\), tous deux dans \([0\,;3]\). Le théorème dit « au moins un », pas « un seul ».
Le réel 4 n'appartient pas à \([-1\,;3]\) : il n'a aucun antécédent dans \([0\,;3]\). (L'équation \(g(x)=4\) a bien une solution positive, \(1+\sqrt5\approx 3{,}24\), mais elle est hors de l'intervalle.)
Énoncé. Montrer que l'équation \(\cos x=x\) a une solution unique \(\beta\) dans \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), puis encadrer \(\beta\) à 0,01 près.
Solution : On pose \(h(x)=\cos x-x\). L'équation s'écrit \(h(x)=0\). La fonction \(h\) est la différence de deux fonctions continues, donc elle est continue sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\). On calcule \(h(0)=1\) et \(h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\) : ces deux nombres sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(h(x)=0\) a au moins une solution dans cet intervalle.
Sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), la fonction cosinus est strictement décroissante, et la fonction \(x\mapsto -x\) aussi. Leur somme \(h\) est strictement décroissante : la solution est unique.
À la calculatrice, en radians : \(h(0{,}73)\approx 0{,}015\) et \(h(0{,}74)\approx -0{,}002\). Donc \(0{,}73\lt\beta\lt 0{,}74\).
Oublier la continuité. La fonction partie entière vaut 0 en 0 et 1 en 1, mais elle ne prend jamais la valeur 0,5 : elle n'est pas continue en 1. De même, la fonction inverse vaut \(-1\) en \(-1\) et \(1\) en \(1\) sans jamais s'annuler : elle n'est pas définie en 0, donc pas continue sur \([-1\,;1]\). Il faut toujours écrire que \(f\) est continue sur l'intervalle.
Conclure « une seule solution » sans monotonie. Pour \(f(x)=x^3-x\), on a \(f(-2)=-6\) et \(f(2)=6\) : le théorème donne au moins une solution de \(f(x)=0\) dans \([-2\,;2]\). Il y en a trois : \(-1\), 0 et 1. L'unicité demande que la fonction soit strictement monotone.
Croire que des images de même signe interdisent une solution. Pour \(f(x)=x^2-1\) sur \([-2\,;2]\), \(f(-2)=3\) et \(f(2)=3\) sont positifs, et pourtant l'équation \(f(x)=0\) a deux solutions, \(-1\) et 1. Quand \(f(a)\) et \(f(b)\) ont le même signe, le théorème ne dit rien.
Confondre l'image de \([a\,;b]\) avec l'intervalle d'extrémités \(f(a)\) et \(f(b)\). Ce n'est vrai que si la fonction est monotone. Dans l'exemple 2, \(g(0)=0\) et \(g(3)=3\), mais l'image est \([-1\,;3]\).
Résumé
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[m\,;M]\), avec \(m\) le minimum et \(M\) le maximum.
\(f\) continue sur \([a\,;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) : il existe \(c\) dans \([a\,;b]\) tel que \(f(c)=k\).
\(f\) continue et \(f(a)\times f(b)\lt 0\) : l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \(]a\,;b[\).
Si \(f\) est de plus strictement monotone, la solution est unique.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).