Première S1-S3 · Leçon 18
Primitives
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Définition : F dérivable sur un intervalle I, de dérivée f, est une primitive de f sur I
- Théorème admis : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle
- Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante ; une primitive est déterminée par sa valeur en un point
- Primitives des fonctions usuelles : monômes, sinus, cosinus, x ↦ 1/xⁿ (n ≠ 1), x ↦ cos(ax + b), x ↦ sin(ax + b) et leurs combinaisons linéaires
- Déterminer une primitive d’une fonction donnée ; déterminer la primitive qui s’annule pour une valeur donnée
- Limite : la notation de l’intégrale n’est pas utilisée
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Primitives : définition, primitives usuelles
Tu sais dériver : à partir d'une fonction, tu calcules sa dérivée. Dans cette leçon, on fait le chemin inverse. On connaît la dérivée et on cherche la fonction de départ. Cette question se pose souvent en sciences : on connaît la vitesse d'un mobile à chaque instant et on veut retrouver sa position ; on connaît le rythme auquel une quantité varie et on veut retrouver cette quantité. La fonction cherchée s'appelle une primitive. Tu vas apprendre à reconnaître une primitive, à trouver toutes les primitives d'une fonction simple (polynôme, sinus, cosinus) et à choisir celle qui prend une valeur donnée en un point.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) sur \(I\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) telle que, pour tout \(x\) de \(I\),
\[F'(x)=f(x).\]Autrement dit : \(F\) est une primitive de \(f\) signifie que \(f\) est la dérivée de \(F\).
Premiers exemples. La fonction \(F(x)=x^2\) est une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x)=2x\), car \(F'(x)=2x\). La fonction \(G(x)=x^2+5\) en est une autre, car la dérivée de la constante 5 est nulle : \(G'(x)=2x\). Une même fonction a donc plusieurs primitives.
Comment vérifier. Pour savoir si \(F\) est une primitive de \(f\), on ne « devine » rien : on dérive \(F\) et on compare le résultat à \(f\).
Existence (admise). Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Théorème. Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(I\). Les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions
\[x\longmapsto F(x)+k,\quad k \text{ constante réelle.}\]Démonstration. D'abord, pour toute constante \(k\), la fonction \(F+k\) a pour dérivée \(F'+0=f\) : c'est bien une primitive de \(f\). Réciproquement, soit \(G\) une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\). La fonction \(G-F\) a pour dérivée \(G'-F'=f-f=0\) sur \(I\). Or une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Il existe donc un réel \(k\) tel que \(G(x)-F(x)=k\), c'est-à-dire \(G(x)=F(x)+k\) pour tout \(x\) de \(I\).
Conséquence : primitive prenant une valeur donnée. Soit \(x_0\) un point de \(I\) et \(y_0\) un réel. Il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0)=y_0\). En effet, la condition \(F(x_0)+k=y_0\) fixe une seule valeur de la constante : \(k=y_0-F(x_0)\).
Lecture graphique. Les courbes des primitives de \(f\) se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. Par chaque point du plan dont l'abscisse est dans \(I\), il passe une seule de ces courbes.
Chaque ligne se vérifie en dérivant la fonction de droite. Dans tout le tableau, \(k\) désigne une constante réelle et l'intervalle est \(\mathbb{R}\).
| Fonction \(f\) | Primitives de \(f\) |
|---|---|
| \(f(x)=a\) (constante) | \(F(x)=ax+k\) |
| \(f(x)=x\) | \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}+k\) |
| \(f(x)=x^n\), \(n\) entier naturel non nul | \(F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+k\) |
| \(f(x)=\cos x\) | \(F(x)=\sin x+k\) |
| \(f(x)=\sin x\) | \(F(x)=-\cos x+k\) |
Somme. Si \(U\) est une primitive de \(u\) et \(V\) une primitive de \(v\) sur \(I\), alors \(U+V\) est une primitive de \(u+v\) sur \(I\).
Produit par un nombre. Si \(U\) est une primitive de \(u\) sur \(I\) et si \(a\) est un réel, alors \(aU\) est une primitive de \(au\) sur \(I\).
Ces deux règles viennent directement des règles de dérivation \((U+V)'=U'+V'\) et \((aU)'=aU'\). Elles suffisent pour trouver les primitives de n'importe quelle fonction polynôme : on traite chaque terme séparément. Par exemple, une primitive de \(5x^3\) est \(5\times\dfrac{x^4}{4}=\dfrac{5x^4}{4}\).
- Repère l'intervalle sur lequel la fonction est continue. Pour une fonction polynôme, pour le sinus et pour le cosinus, c'est \(\mathbb{R}\).
- Sépare les termes de la somme et mets les coefficients de côté.
- Applique le tableau à chaque terme : pour \(x^n\), on augmente l'exposant de 1 et on divise par le nouvel exposant ; un terme constant \(a\) donne \(ax\).
- Ajoute la constante \(k\) : tu obtiens ainsi toutes les primitives.
- Contrôle en dérivant ton résultat : tu dois retrouver exactement la fonction de départ. Ce contrôle prend quelques secondes et évite presque toutes les erreurs.
On cherche la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(x_0)=y_0\).
- Écris la forme générale des primitives : \(F(x)=\ldots+k\).
- Remplace \(x\) par \(x_0\) et écris l'équation \(F(x_0)=y_0\). L'inconnue est \(k\).
- Résous cette équation : elle donne une seule valeur de \(k\).
- Écris la primitive obtenue, puis vérifie les deux conditions : \(F'=f\) et \(F(x_0)=y_0\).
Sur un dessin, cela revient à choisir, parmi toutes les courbes des primitives, celle qui passe par le point de coordonnées \((x_0;y_0)\).
Énoncé. Détermine toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f(x)=6x^2-4x+5\).
Solution. On traite chaque terme. Une primitive de \(x^2\) est \(\dfrac{x^3}{3}\), donc une primitive de \(6x^2\) est \(6\times\dfrac{x^3}{3}=2x^3\). Une primitive de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\), donc une primitive de \(-4x\) est \(-4\times\dfrac{x^2}{2}=-2x^2\). Une primitive de la constante 5 est \(5x\).
Les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont donc les fonctions \(F(x)=2x^3-2x^2+5x+k\), où \(k\) est une constante réelle.
Contrôle. \(F'(x)=2\times 3x^2-2\times 2x+5=6x^2-4x+5\) : on retrouve bien \(f(x)\).
Énoncé. Détermine la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2-2x+1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(1)=4\).
Solution. Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F(x)=x^3-x^2+x+k\). On écrit la condition : \(F(1)=1-1+1+k=1+k\). On veut \(1+k=4\), donc \(k=3\).
La primitive cherchée est \(F(x)=x^3-x^2+x+3\).
Contrôle. \(F'(x)=3x^2-2x+1=f(x)\) et \(F(1)=1-1+1+3=4\). Les deux conditions sont remplies.
Figure — Trois primitives d'une même fonction
Courbes des fonctions \(F(x)=x^3-x^2+x+k\) pour \(k=-3\), \(k=0\) et \(k=3\) : ce sont trois primitives de \(f(x)=3x^2-2x+1\). On passe de l'une à l'autre par une translation verticale, puisqu'elles ne diffèrent que d'une constante. Une seule de ces courbes passe par le point \(A(1\,;4)\) : celle de \(k=3\), la primitive trouvée dans l'exemple 2.
Énoncé. Détermine la primitive \(F\) de \(f(x)=2\cos x-3\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0)=1\).
Solution. Une primitive de \(\cos x\) est \(\sin x\) ; une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\). Donc une primitive de \(-3\sin x\) est \(-3\times(-\cos x)=3\cos x\). Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F(x)=2\sin x+3\cos x+k\).
Condition : \(F(0)=2\sin 0+3\cos 0+k=0+3+k\). On veut \(3+k=1\), donc \(k=-2\). La primitive cherchée est \(F(x)=2\sin x+3\cos x-2\).
Contrôle. \(F'(x)=2\cos x+3\times(-\sin x)=2\cos x-3\sin x=f(x)\), et \(F(0)=0+3-2=1\).
Énoncé. On lance une pierre verticalement vers le haut. À l'instant \(t\) (en secondes), sa vitesse est \(v(t)=-10t+20\) (en mètres par seconde) et sa hauteur est \(h(t)\) (en mètres). Au départ, la pierre est à 5 m du sol : \(h(0)=5\). Détermine \(h(t)\), puis la hauteur maximale atteinte.
Solution. La vitesse est la dérivée de la hauteur : \(h'(t)=v(t)\). La fonction \(h\) est donc la primitive de \(v\) qui vaut 5 en 0. Les primitives de \(v\) sont les fonctions \(-5t^2+20t+k\). La condition \(h(0)=5\) donne \(k=5\), donc \(h(t)=-5t^2+20t+5\).
La pierre est au plus haut quand sa vitesse s'annule : \(-10t+20=0\), soit \(t=2\). Avant cet instant la vitesse est positive (la pierre monte), après elle est négative (la pierre descend). On calcule \(h(2)=-5\times 4+20\times 2+5=25\). La hauteur maximale est donc 25 m, atteinte au bout de 2 secondes.
Figure — Hauteur de la pierre en fonction du temps
Courbe de \(h(t)=-5t^2+20t+5\), la primitive de la vitesse qui vaut 5 en 0. La pierre monte tant que la vitesse est positive, atteint 25 m à l'instant \(t=2\), où la vitesse s'annule, puis redescend.
Oublier la constante. Si on te demande les primitives, la réponse contient toujours « \(+k\) ». Si on te demande la primitive qui vérifie une condition, il faut calculer \(k\).
Diviser par le mauvais nombre. Pour \(x^n\), on divise par le nouvel exposant \(n+1\), pas par \(n\). Une primitive de \(x^3\) est \(\dfrac{x^4}{4}\) et non \(\dfrac{x^4}{3}\).
Confondre dériver et « primitiver ». La dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\), mais une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\). En cas de doute, dérive ta réponse : la dérivée de \(\cos x\) est \(-\sin x\), donc \(\cos x\) n'est pas une primitive de \(\sin x\).
Faire le produit des primitives. Il n'existe pas de règle pour un produit. La fonction \(x^2=x\times x\) a pour primitive \(\dfrac{x^3}{3}\), et non \(\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{4}\). Devant un produit, développe d'abord.
Oublier l'intervalle. Le résultat « deux primitives diffèrent d'une constante » n'est vrai que sur un intervalle.
Primitives de 1/xⁿ, de cos(ax + b) et de sin(ax + b)
Chercher une primitive, c'est lire à l'envers un tableau de dérivées. On complète ici les primitives des monômes, du sinus et du cosinus par trois nouvelles familles : les inverses des puissances, puis le cosinus et le sinus d'une expression affine. Avec la linéarité, elles suffisent pour traiter la plupart des fonctions rencontrées dans cette classe.
Dans ce tableau, \(n\) est un entier au moins égal à 2, \(a\) et \(b\) sont des réels avec \(a\neq 0\), et \(C\) est une constante réelle quelconque.
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) (et l'intervalle) |
|---|---|
| \(x\mapsto\dfrac{1}{x^n}\) | \(x\mapsto-\dfrac{1}{(n-1)\,x^{n-1}}\) sur \(]-\infty\,;0[\) ou sur \(]0\,;+\infty[\) |
| \(x\mapsto\cos(ax+b)\) | \(x\mapsto\tfrac1a\sin(ax+b)\) sur \(\mathbb R\) |
| \(x\mapsto\sin(ax+b)\) | \(x\mapsto-\tfrac1a\cos(ax+b)\) sur \(\mathbb R\) |
Les autres primitives s'obtiennent en ajoutant une constante \(C\).
Justification. On dérive la fonction proposée. La fonction \(x\mapsto-\dfrac{1}{(n-1)}x^{-(n-1)}\) a pour dérivée \(-\dfrac{1}{n-1}\times\big(-(n-1)\big)x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\). La dérivée de \(x\mapsto\sin(ax+b)\) est \(x\mapsto a\cos(ax+b)\) ; en divisant par \(a\), on obtient \(\cos(ax+b)\). De même, la dérivée de \(x\mapsto\cos(ax+b)\) est \(x\mapsto -a\sin(ax+b)\).
Par exemple, une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) est \(x\mapsto-\dfrac1x\), et une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x^3}\) est \(x\mapsto-\dfrac{1}{2x^2}\).
Linéarité. Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\) sur un intervalle \(I\), et si \(\lambda\) et \(\mu\) sont deux réels, alors \(\lambda F+\mu G\) est une primitive de \(\lambda f+\mu g\) sur \(I\). On cherche donc une primitive terme à terme, en gardant les coefficients.
Condition initiale. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante. Si \(x_0\) est un réel de \(I\) et \(y_0\) un réel, il existe donc une seule primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F(x_0)=y_0\). Pour la trouver, on part d'une primitive \(F_1\), on écrit \(F=F_1+C\), puis on calcule \(C\) avec l'égalité \(F_1(x_0)+C=y_0\).
En particulier, la primitive qui s'annule en \(x_0\) est \(x\mapsto F_1(x)-F_1(x_0)\).
1. Repérer l'intervalle. Dès qu'un terme \(\dfrac1{x^n}\) apparaît, on travaille sur un intervalle qui ne contient pas 0.
2. Décomposer. On écrit \(f\) comme une somme de termes du tableau, multipliés par des constantes : par exemple \(\dfrac{5}{x^4}=5\times\dfrac1{x^4}\).
3. Appliquer le tableau terme à terme, sans oublier le facteur \(\dfrac1a\) devant le sinus ou le cosinus d'une expression \(ax+b\), ni le signe moins devant le cosinus.
4. Contrôler en dérivant. On dérive la fonction obtenue : on doit retrouver exactement \(f\). C'est le moyen le plus sûr de détecter un facteur ou un signe oublié.
5. Condition imposée. On ajoute une constante \(C\), on écrit la condition, et on résout l'équation d'inconnue \(C\).
Énoncé. Déterminer une primitive sur \(]0\,;+\infty[\) de \(f(x)=3x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^2}\).
Solution : Terme à terme : une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\) ; une primitive de \(\dfrac1{x^3}\) est \(-\dfrac{1}{2x^2}\), donc une primitive de \(-\dfrac4{x^3}\) est \(-4\times\left(-\dfrac{1}{2x^2}\right)=\dfrac{2}{x^2}\) ; une primitive de \(\dfrac1{x^2}\) est \(-\dfrac1x\). D'où
\[F(x)=x^3+\frac{2}{x^2}-\frac1x.\]Contrôle : \(F'(x)=3x^2+2\times\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)+\dfrac1{x^2}=3x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac1{x^2}=f(x)\). La même formule convient aussi sur \(]-\infty\,;0[\).
Énoncé. Soit \(g(x)=\cos\!\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+4\sin(3x)\). Déterminer la primitive de \(g\) sur \(\mathbb R\) qui s'annule en 0.
Solution : Avec \(a=2\) pour le premier terme et \(a=3\) pour le second, une primitive est
\[G(x)=\frac12\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-\frac43\cos(3x).\]Contrôle : \(G'(x)=\dfrac12\times 2\cos\!\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\dfrac43\times(-3)\sin(3x)=g(x)\).
On calcule \(G(0)=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{3}-\dfrac43\cos 0=\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac43\). La primitive cherchée est
\[G_0(x)=G(x)-G(0)=\frac12\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-\frac43\cos(3x)+\frac{16-3\sqrt3}{12}.\]Énoncé. Déterminer la primitive \(H\) sur \(]0\,;+\infty[\) de \(h(x)=\dfrac{1}{x^2}+\sin(\pi x)\) telle que \(H(1)=0\), puis calculer \(H(2)\).
Solution : Les primitives de \(h\) sont les fonctions \(x\mapsto-\dfrac1x-\dfrac1\pi\cos(\pi x)+C\). La condition donne \(-1-\dfrac1\pi\cos\pi+C=0\), soit \(-1+\dfrac1\pi+C=0\), donc \(C=1-\dfrac1\pi\). Ainsi
\[H(x)=-\frac1x-\frac1\pi\cos(\pi x)+1-\frac1\pi.\]Enfin \(H(2)=-\dfrac12-\dfrac1\pi\cos(2\pi)+1-\dfrac1\pi=\dfrac12-\dfrac2\pi\).
Figure — Trois primitives d'une même fonction
Trois primitives de la fonction qui à x associe cos(2x) : la moitié de sin(2x), à laquelle on ajoute −1, 0 ou 1. Les trois courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. En bleu marine, la seule qui passe par le point marqué en or, d'abscisse π/4 et d'ordonnée 1 : c'est celle dont la constante vaut 0,5.
Oublier le facteur \(\dfrac1a\). Une primitive de \(\cos(2x)\) n'est pas \(\sin(2x)\), dont la dérivée vaut \(2\cos(2x)\) ; c'est \(\dfrac12\sin(2x)\).
Se tromper de signe. Une primitive de \(\sin(5x)\) est \(-\dfrac15\cos(5x)\), avec un signe moins, puisque la dérivée du cosinus est l'opposé du sinus.
Appliquer la formule à \(n=1\) ou sur un intervalle qui contient 0. La formule \(-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\) n'a pas de sens pour \(n=1\) : la fonction \(x\mapsto\dfrac1x\) a bien des primitives sur \(]0\,;+\infty[\), mais aucune ne s'écrit avec les fonctions connues à ce niveau. Et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) n'a pas de primitive sur un intervalle qui contient 0, où elle n'est pas définie.
Chercher une primitive d'un produit en multipliant des primitives. La dérivée de \(x\mapsto x^2\sin x\) est \(2x\sin x+x^2\cos x\), et non \(2x\cos x\) : la primitive d'un produit ne se calcule pas facteur par facteur. On se ramène d'abord à une somme de termes du tableau.
Résumé
\(F\) est une primitive de \(f\) sur l'intervalle \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\). Pour vérifier, on dérive \(F\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les autres sont les fonctions \(F+k\), avec \(k\) constante réelle.
Une seule primitive vérifie \(F(x_0)=y_0\) : on calcule \(k\) en écrivant cette condition.
\(a\to ax\) ; \(x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) ; \(\cos x\to\sin x\) ; \(\sin x\to-\cos x\). On ajoute la constante \(k\).
Primitive d'une somme : somme des primitives. Primitive de \(au\) : \(a\) fois une primitive de \(u\). Aucune règle pour un produit de fonctions.
\(\dfrac1{x^n}\) (\(n\ge 2\)) a pour primitive \(-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\), sur un intervalle sans 0.
\(\cos(ax+b)\) a pour primitive \(\dfrac1a\sin(ax+b)\).
\(\sin(ax+b)\) a pour primitive \(-\dfrac1a\cos(ax+b)\).
On écrit \(F_1+C\) et on calcule \(C\) avec la condition \(F(x_0)=y_0\).