Première S1-S3 · Leçon 9

Formules trigonométriques, équations et inéquations trigonométriques

Ce que dit le programme officiel (9 points)

Cosinus, sinus, tangente d’un réel
Formules d’addition : cos(a + b), sin(a + b), tan(a + b) et les formules correspondantes avec (a − b)
Formules de duplication
Formules de transformation des sommes en produits et des produits en sommes (en exercice)
Équations cos ax = b, sin ax = b, tan ax = b ; exemples simples comme sin 3x = 1, |cos 2x| = 1/2, tan(3x − π/4) = √3
Inéquations cos ax ≤ b, sin ax ≤ b, tan ax ≤ b
Déterminer les solutions appartenant à un intervalle donné ; noter correctement les ensembles de solutions
Équations a cos x + b sin x = c (on pourra les traiter)
Résultat admis : si x est exprimé en radians, la limite de sin x / x en 0 vaut 1

Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006

Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables

Rappel de Seconde

Définition — Cosinus et sinus d'un réel

Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.

Valeurs remarquables

Pour les angles remarquables (en radians) :

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]

Relations entre cosinus et sinus d'angles associés

À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :

\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]

Exemples gradués

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Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables

Formules d'addition et de duplication

Équations et inéquations trigonométriques

Transformation de a·cos x + b·sin x (angle auxiliaire)

Résumé

Sujet type devoir

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