Première S1-S3 · Leçon 8
Angles orientés
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Angles orientés d’un couple de demi-droites, de vecteurs
- Mesures d’un angle orienté, d’un arc orienté ; mesure principale
- Égalités modulo a quelconque, notation x ≡ y (a)
- Addition d’angles orientés
- Angles inscrits, angles au centre
- Arc capable : connaître sa construction ; lignes de niveau de la forme (MA, MB) = α (2π)
- Utiliser les angles orientés pour calculer des mesures d’angles et démontrer des propriétés
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Cercle orienté, arcs orientés et angle orienté de deux demi-droites
Rappel de SecondeUn angle géométrique dit de combien on tourne, mais pas dans quel sens. Or une aiguille, une roue ou une porte ne tournent pas de la même façon dans un sens et dans l'autre. Pour en tenir compte, on commence par choisir un sens de parcours sur les cercles : on obtient des arcs, puis des angles, munis d'un signe.
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours. Orienter le cercle, c'est choisir l'un des deux comme sens positif. Par convention, le sens direct (ou positif) est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre ; l'autre est le sens indirect (ou négatif).
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, orienté dans le sens direct, sur lequel on a choisi un point origine \(I\).
Le radian. Sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1 intercepte un angle au centre de 1 radian. Le cercle entier a pour longueur \(2\pi\) : un tour complet mesure \(2\pi\) radians, un demi-tour \(\pi\) radians. D'où la correspondance \(180^\circ=\pi\ \text{rad}\), et le tableau :
| Degrés | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Sur un cercle de rayon \(r\), un angle au centre de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Soit \(A\) et \(B\) deux points d'un cercle orienté de rayon 1. L'arc orienté d'origine \(A\) et d'extrémité \(B\) est le couple \((A\,;B)\) : on part de \(A\), on arrive en \(B\), et l'ordre compte.
Pour aller de \(A\) à \(B\) sur le cercle, on peut tourner dans le sens direct ou dans le sens indirect, et faire en plus autant de tours complets que l'on veut. À chaque trajet, on associe un nombre : la longueur parcourue, comptée positivement dans le sens direct et négativement dans le sens indirect. Chacun de ces nombres est une mesure, en radians, de l'arc orienté.
Propriété. Si \(\alpha\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\), toutes ses mesures sont les nombres \(\alpha+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif. Un arc orienté a donc une infinité de mesures, qui diffèrent d'un nombre entier de tours.
Mesure principale. Parmi ces mesures, une seule appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) : c'est la mesure principale. Elle correspond au plus court trajet de \(A\) à \(B\).
Figure — Deux trajets de A à B sur le cercle trigonométrique
Le point \(A\) est l'origine \(I\) du cercle et le point \(B\) est tel que l'arc direct de \(A\) à \(B\) mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En or, ce trajet dans le sens direct : mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En bleu, le trajet dans le sens indirect : mesure \(\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}\). Les deux nombres sont des mesures du même arc orienté ; la mesure principale est \(\frac{2\pi}{3}\).
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points d'un cercle orienté de rayon 1. Les égalités suivantes sont vraies « à un nombre entier de tours près », c'est-à-dire à \(2k\pi\) près.
- Arc nul. L'arc orienté \((A\,;A)\) a pour mesure 0.
- Changement de sens. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\), alors \(-\alpha\) est une mesure de \((B\,;A)\).
- Relation de Chasles. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\) et \(\beta\) une mesure de \((B\,;C)\), alors \(\alpha+\beta\) est une mesure de \((A\,;C)\).
Sur le cercle trigonométrique, on repère un point \(M\) par une mesure \(x\) de l'arc orienté \((I\,;M)\). Si \(A\) et \(B\) sont repérés par \(a\) et \(b\), la relation de Chasles montre que \(b-a\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\).
Soit \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites de même origine \(O\). On trace le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct ; il coupe \([Ox)\) en \(A\) et \([Oy)\) en \(B\).
L'angle orienté du couple de demi-droites \(([Ox)\,;[Oy))\) a pour mesures celles de l'arc orienté \((A\,;B)\). Il a donc une infinité de mesures, de la forme \(\alpha+2k\pi\), et une seule mesure principale, dans \(]-\pi\,;\pi]\).
Lien avec l'angle géométrique. La valeur absolue de la mesure principale est la mesure, en radians, de l'angle géométrique \(\widehat{xOy}\). Le signe indique le sens dans lequel on tourne pour amener \([Ox)\) sur \([Oy)\) par le plus court chemin : positif dans le sens direct, négatif dans le sens indirect.
L'ordre compte. Les angles orientés \(([Ox)\,;[Oy))\) et \(([Oy)\,;[Ox))\) ont des mesures opposées.
Vers les vecteurs. L'angle orienté de deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) est celui des demi-droites \([Ox)\) et \([Oy)\) d'origine \(O\) dirigées par \(\vec u\) et par \(\vec v\).
On connaît une mesure \(\alpha\) d'un arc ou d'un angle orienté et l'on cherche celle qui est dans \(]-\pi\,;\pi]\).
1. Écrire \(\alpha\) sous la forme d'une fraction de \(\pi\), par exemple \(\dfrac{17\pi}{4}\).
2. Retirer (si \(\alpha\) est trop grand) ou ajouter (si \(\alpha\) est trop petit) des multiples de \(2\pi\), écrits avec le même dénominateur : ici \(2\pi=\dfrac{8\pi}{4}\).
3. S'arrêter dès que le résultat est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac{17\pi}{4}-2\times\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\).
Contrôle. La différence entre la mesure de départ et la mesure principale doit être un multiple entier de \(2\pi\).
Énoncé. \(ABCDEF\) est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, les sommets étant nommés dans le sens direct, avec \(A=I\). Donner la mesure principale des arcs orientés \((A\,;B)\), \((A\,;C)\), \((A\,;E)\), \((C\,;A)\) et \((E\,;B)\).
Solution : Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux, de longueur \(\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) sont donc repérés par \(0\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\pi\), \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\).
\((A\,;B)\) : \(\dfrac{\pi}{3}\). \((A\,;C)\) : \(\dfrac{2\pi}{3}\). \((A\,;E)\) : une mesure est \(\dfrac{4\pi}{3}\), qui dépasse \(\pi\) ; la mesure principale est \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\) : il est plus court d'aller de \(A\) à \(E\) dans le sens indirect.
\((C\,;A)\) : c'est l'opposé de \((A\,;C)\), soit \(-\dfrac{2\pi}{3}\). \((E\,;B)\) : une mesure est \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{4\pi}{3}=-\pi\), qui n'est pas dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; la mesure principale est \(-\pi+2\pi=\pi\). Les points \(E\) et \(B\) sont diamétralement opposés.
Énoncé. a) Donner la mesure principale des angles orientés dont une mesure est \(\dfrac{17\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(-\dfrac{25\pi}{6}\). b) Convertir \(150^\circ\) en radians. c) Sur un cercle de rayon 3 cm, quelle est la longueur d'un arc intercepté par un angle au centre de \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians ?
Solution : a) \(\dfrac{17\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi}{4}\). \(-\dfrac{11\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{7\pi}{6}\) dépasse \(\pi\) : \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\). \(-\dfrac{25\pi}{6}+4\pi=-\dfrac{\pi}{6}\).
b) \(150^\circ=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radians.
c) La longueur est \(r\alpha=3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi\approx 6{,}28\) cm.
Énoncé. a) \(ABC\) est un triangle équilatéral dont les sommets sont nommés dans le sens direct. Donner la mesure principale des angles orientés \(([AB)\,;[AC))\), \(([AC)\,;[AB))\) et \(([BA)\,;[BC))\). b) \(ABCD\) est un carré de centre \(O\), nommé dans le sens direct. Donner la mesure principale de \(([OA)\,;[OB))\), \(([OB)\,;[OA))\), \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AD)\,;[AB))\).
Solution : a) Les angles géométriques du triangle mesurent \(\dfrac{\pi}{3}\). Pour amener \([AB)\) sur \([AC)\), on tourne dans le sens direct : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(([AC)\,;[AB))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\). En \(B\), pour amener \([BA)\) sur \([BC)\), on tourne dans le sens indirect : \(([BA)\,;[BC))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\).
b) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et l'on passe de \(A\) à \(B\) dans le sens direct : \(([OA)\,;[OB))\) mesure \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(([OB)\,;[OA))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{2}\). La diagonale \([AC)\) partage l'angle droit en \(A\) en deux angles de \(\dfrac{\pi}{4}\), et l'on tourne dans le sens direct de \([AB)\) vers \([AC)\) : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\). Enfin, de \([AD)\) vers \([AB)\), on tourne dans le sens indirect : la mesure est \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Une mesure n'est pas « la » mesure. Un arc ou un angle orienté a une infinité de mesures : \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{17\pi}{4}\) désignent le même angle orienté. Deux mesures du même angle diffèrent toujours d'un multiple entier de \(2\pi\), jamais de \(\pi\).
L'ordre des demi-droites. Échanger les deux demi-droites change le signe : \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AC)\,;[AB))\) sont opposés, alors que l'angle géométrique \(\widehat{BAC}\) est le même.
Les bornes de l'intervalle. La mesure principale est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\pi\) est accepté, \(-\pi\) ne l'est pas. Un demi-tour a pour mesure principale \(\pi\).
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Ce chapitre s'appuie directement sur les acquis de Seconde concernant les angles orientés de vecteurs. L'objectif : donner un sens précis au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), le cosinus d'un réel \(x\) est l'abscisse du point associé, le sinus en est son ordonnée, avec toujours \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Ce chapitre étend ces notions au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle.
Une base \((\vec i,\vec j)\) est orthonormée si \(\vec i\) et \(\vec j\) sont unitaires (\(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\)) et orthogonaux. Elle est directe si \(\vec j\) s'obtient à partir de \(\vec i\) par une rotation de \(+90°\) (sens trigonométrique / anti-horaire) ; sinon elle est indirecte.
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec u\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec v\) tel que \((\vec u,\vec v)\) soit une base orthonormée directe.
Dans une base orthonormée directe, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) sont non nuls, et \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\) :
\[ \cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{xx'+yy'}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta = \dfrac{xy'-x'y}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. \]Le cosinus se calcule avec le produit scalaire (déjà vu en Seconde), le sinus avec le déterminant — les deux notions se retrouvent ici réunies.
\(\vec u(1;0)\), \(\vec v(0;1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\times1-0\times0=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\). Donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), soit \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) — cohérent avec deux vecteurs orthogonaux formant une base directe.
\(\vec u(2;0)\), \(\vec v(1;\sqrt3)\) : \(\vec u\cdot\vec v=2\), \(\det(\vec u,\vec v)=2\sqrt3-0=2\sqrt3\). \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=2\). \(\cos\theta=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).
Figure interactive — Angle entre deux vecteurs
Angle inscrit et cocyclicité
Dans un cercle de centre \(O\), pour deux points \(A\), \(B\) fixés et un point \(M\) mobile sur un même arc, l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) est constant, et vaut la moitié de l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) interceptant le même arc.
Figure — Angle au centre et angle inscrit interceptant le même arc
L'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) vaut exactement la moitié de l'angle au centre \(\widehat{AOB}\).
Arc capable
D'où faut-il se placer pour voir un segment \([AB]\) sous un angle donné ? Un photographe qui veut cadrer une façade, un marin qui relève deux phares se posent cette question. La réponse est un arc de cercle, que l'on appelle arc capable. Il se déduit directement du théorème de l'angle inscrit.
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan orienté et \(\alpha\) un réel. On cherche l'ensemble des points \(M\), distincts de \(A\) et de \(B\), tels que
\[(\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi].\]Lorsque \(\alpha\) n'est pas un multiple de \(\pi\), cet ensemble est un arc de cercle d'extrémités \(A\) et \(B\), privé de \(A\) et de \(B\). On l'appelle l'arc capable de l'angle \(\alpha\) construit sur \([AB]\) : c'est l'ensemble des points d'où l'on « voit » le segment \([AB]\) sous l'angle orienté \(\alpha\).
Les points \(A\) et \(B\) eux-mêmes sont exclus, car l'angle \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\) n'est pas défini lorsque l'un des deux vecteurs est nul.
Soit \(A\) et \(B\) deux points distincts et \(\alpha\) un réel.
1. Si \(\alpha\) n'est pas un multiple de \(\pi\). Soit \(\mathcal{C}\) le cercle passant par \(A\) et \(B\) dont la tangente \((AT)\) en \(A\) vérifie \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})\equiv\alpha\;[\pi]\).
- L'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[\pi]\) est le cercle \(\mathcal{C}\) privé de \(A\) et de \(B\).
- L'ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) est l'un des deux arcs de \(\mathcal{C}\) d'extrémités \(A\) et \(B\) (privé de \(A\) et \(B\)). Sur l'autre arc, l'angle vaut \(\alpha+\pi\) modulo \(2\pi\).
Le centre \(O\) de \(\mathcal{C}\) est le point de la médiatrice de \([AB]\) tel que \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})\equiv 2\alpha\;[2\pi]\) (angle au centre), et son rayon est
\[R=\frac{AB}{2\,|\sin\alpha|}.\]2. Si \(\alpha\equiv 0\;[2\pi]\) : les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont colinéaires de même sens ; l'ensemble est la droite \((AB)\) privée du segment \([AB]\).
3. Si \(\alpha\equiv\pi\;[2\pi]\) : ils sont colinéaires de sens contraires ; l'ensemble est le segment \([AB]\) privé de \(A\) et de \(B\).
Cas remarquable. Pour \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(\alpha=-\dfrac{\pi}{2}\), on trouve \(R=\dfrac{AB}{2}\) : l'arc capable est un demi-cercle de diamètre \([AB]\).
On suppose \(0\lt\alpha\lt\pi\). Lorsqu'on parcourt la droite \((AB)\) de \(A\) vers \(B\), l'arc capable de l'angle \(\alpha\) est situé à gauche : pour ses points, le triangle \(MAB\) est de sens direct. La demi-tangente \([AT)\) telle que \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) est située de l'autre côté, à droite.
- Si \(\alpha\) est aigu, l'arc capable est le grand arc, et le centre \(O\) est du même côté de \((AB)\) que lui.
- Si \(\alpha\) est obtus, l'arc capable est le petit arc, et le centre \(O\) est de l'autre côté de \((AB)\).
Dans les deux cas, la distance de \(O\) à la droite \((AB)\) est \(R\,|\cos\alpha|\).
Pour \(-\pi\lt\alpha\lt 0\), tout s'échange : l'arc est à droite quand on va de \(A\) vers \(B\). C'est le symétrique, par rapport à \((AB)\), de l'arc capable de l'angle \(-\alpha\).
On donne \(A\), \(B\) et \(\alpha\), avec \(0\lt\alpha\lt\pi\).
1. Tracer la demi-droite \([AT)\) telle que \((\overrightarrow{AT}\,;\overrightarrow{AB})=\alpha\) : elle sera tangente au cercle cherché.
2. Tracer la perpendiculaire à \((AT)\) passant par \(A\) : le centre est sur cette droite, puisque le rayon est perpendiculaire à la tangente au point de contact.
3. Tracer la médiatrice de \([AB]\) : le centre est aussi sur cette droite, puisque \(OA=OB\). Le point d'intersection des deux droites est le centre \(O\).
4. Tracer le cercle de centre \(O\) passant par \(A\), puis ne garder que l'arc d'extrémités \(A\) et \(B\) situé du côté opposé à \(T\) par rapport à la droite \((AB)\), sans ses extrémités.
Contrôle. Placer un point \(M\) sur l'arc tracé et mesurer l'angle \(\widehat{AMB}\) : on doit retrouver \(\alpha\).
Figure — Arc capable de l'angle π/3 construit sur [AB]
Ici \(AB=4\) et \(\alpha=\frac{\pi}{3}\). En or, l'arc capable : de chacun de ses points, comme \(M\), on voit \([AB]\) sous l'angle \(\frac{\pi}{3}\). En pointillés gris, l'autre arc du même cercle, où l'angle vaut \(\frac{\pi}{3}-\pi=-\frac{2\pi}{3}\). En bleu, la tangente \((AT)\), qui fait l'angle \(\frac{\pi}{3}\) avec \((AB)\), et le rayon \([OA]\) qui lui est perpendiculaire ; le centre \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\).
Énoncé. On donne deux points \(A\) et \(B\) tels que \(AB=4\) cm. Déterminer l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{3}\;[2\pi]\) : préciser le rayon du cercle et la position de son centre.
Solution : \(\dfrac{\pi}{3}\) n'est pas un multiple de \(\pi\) : \((E)\) est un arc de cercle d'extrémités \(A\) et \(B\), privé de ces deux points.
Rayon : \(R=\dfrac{AB}{2\sin\frac{\pi}{3}}=\dfrac{4}{2\times\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{4}{\sqrt3}\approx 2{,}31\) cm.
Centre : \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), à la distance \(R\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx 1{,}15\) cm de la droite \((AB)\). L'angle étant aigu et positif, \(O\) et l'arc sont tous deux à gauche de la droite \((AB)\) parcourue de \(A\) vers \(B\), et \((E)\) est le grand arc. On vérifie l'angle au centre : \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})=\dfrac{2\pi}{3}\), le double de \(\dfrac{\pi}{3}\).
Énoncé. On donne \(AB=6\). Déterminer l'ensemble des points \(M\) tels que : a) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[\pi]\) ; b) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]\) ; c) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv-\dfrac{3\pi}{4}\;[2\pi]\) ; d) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]\) ; e) \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\pi\;[2\pi]\).
Solution : a) C'est un cercle passant par \(A\) et \(B\), privé de \(A\) et \(B\). Son rayon est \(R=\dfrac{6}{2\sin\frac{\pi}{4}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\approx 4{,}24\). Son centre \(O\) vérifie \((\overrightarrow{OA}\,;\overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{2}\) : le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\), et \(O\) est à la distance 3 de \((AB)\), à gauche quand on va de \(A\) vers \(B\).
b) C'est le grand arc de ce cercle (celui qui est du même côté que \(O\)), privé de \(A\) et \(B\).
c) \(-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}-\pi\) : c'est l'autre arc du même cercle, le petit, situé à droite de \((AB)\).
d) \(R=\dfrac{6}{2}=3\) : c'est le demi-cercle de diamètre \([AB]\) situé à gauche quand on va de \(A\) vers \(B\), privé de \(A\) et \(B\).
e) Les vecteurs \(\overrightarrow{MA}\) et \(\overrightarrow{MB}\) sont de sens contraires : \(M\) est entre \(A\) et \(B\). L'ensemble est le segment \([AB]\) privé de ses extrémités.
Modulo \(\pi\) ou modulo \(2\pi\). Avec \([\pi]\), on obtient le cercle entier (sans \(A\) ni \(B\)) ; avec \([2\pi]\), un seul des deux arcs. Les deux arcs d'un même cercle correspondent à des angles qui diffèrent de \(\pi\), et non à des angles opposés.
Les extrémités. Les points \(A\) et \(B\) n'appartiennent jamais à l'ensemble : il faut toujours écrire « privé de \(A\) et de \(B\) ».
Les multiples de \(\pi\). Pour \(\alpha\equiv 0\) ou \(\alpha\equiv\pi\), la formule du rayon n'a pas de sens (\(\sin\alpha=0\)) : l'ensemble n'est pas un arc de cercle mais une partie de la droite \((AB)\).
Résumé
Sens inverse des aiguilles d'une montre : c'est le sens positif. Le cercle trigonométrique a pour rayon 1.
\(180^\circ=\pi\) radians ; sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Si \(\alpha\) est une mesure, toutes les mesures sont \(\alpha+2k\pi\) avec \(k\) entier relatif.
La seule mesure située dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; sa valeur absolue est l'angle géométrique.
Changer l'ordre change le signe ; relation de Chasles : de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(C\), les mesures s'ajoutent.
Ensemble des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}\,;\overrightarrow{MB})\equiv\alpha\;[2\pi]\) : un arc d'extrémités \(A\) et \(B\), sans ces deux points.
Rayon \(R=\dfrac{AB}{2|\sin\alpha|}\) ; centre sur la médiatrice de \([AB]\), avec un angle au centre \(2\alpha\).
La tangente en \(A\) fait l'angle \(\alpha\) avec \((AB)\) : elle donne le centre par une perpendiculaire.
On obtient le cercle entier privé de \(A\) et \(B\) ; sur l'autre arc, l'angle vaut \(\alpha+\pi\).
Angle droit : demi-cercle de diamètre \([AB]\). Angle plat : segment ouvert. Angle nul : droite privée du segment.
Directe : \(\vec j\) = rotation de \(+90°\) de \(\vec i\). Un seul \(\vec v\) unitaire complète \(\vec u\) en base directe.
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — produit scalaire normalisé.
\(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — déterminant normalisé.
\(\vec u\cdot\vec v=0\) : orthogonaux. \(\det=0\) : colinéaires.
Sujet type devoir
Dans une base orthonormée directe, on donne \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(-4;3)\).
Question 1. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{9+16}=5\). \(\|\vec v\|=\sqrt{16+9}=5\).
Question 2. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\det(\vec u,\vec v)\), puis en déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\).
\(\vec u\cdot\vec v=3\times(-4)+4\times3=-12+12=0\). \(\det(\vec u,\vec v)=3\times3-(-4)\times4=9+16=25\).
\(\cos\theta=\dfrac{0}{25}=0\), \(\sin\theta=\dfrac{25}{25}=1\).
Question 3. En déduire la valeur de \(\theta\).
\(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (cohérent avec \(\vec u\cdot\vec v=0\)) et forment une base directe (cohérent avec \(\sin\theta>0\)).