Première S1-S3 · Leçon 2
Transformations ponctuelles et isométries
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Rappels et compléments : homothétie, translation ; propriété caractéristique d’une homothétie-translation
- Expression analytique d’une transformation : translation, homothétie, symétrie centrale, symétrie orthogonale
- Consolidation des transformations usuelles : translations, symétries centrales, symétries orthogonales, rotations
- Reconnaître une homothétie, une translation, une symétrie centrale, une symétrie orthogonale
- Utiliser ces transformations dans des démonstrations, des problèmes de constructions, la détermination de lieux géométriques
- Isométrie : définition, propriétés ; ensemble des points invariants
- Composition de deux isométries ; composition de transformations
- Triangles isométriques : utiliser les critères d’isométrie des triangles dans des résolutions de problèmes
- Décomposition d’une translation et d’une rotation en produit de symétries orthogonales
- Transformations réciproques (limitées aux transformations usuelles)
- Partition en classes : déplacements, antidéplacements ; reconnaître un déplacement, un antidéplacement
- Limite : les isométries peuvent être caractérisées par le nombre de leurs points invariants ; le professeur guide les élèves pour les compositions conduisant à des transformations non usuelles
Source : Programme de mathématiques, Premières S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement si il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;3)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;3)=(6;6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(6;6)=(7;4). \]Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\).
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\). Si \(k_1k_2\neq1\), c'est une homothétie (le centre se détermine sur des exemples, en calculant l'image d'un point) ; si \(k_1k_2=1\), c'est une translation.
\(h_1\) : centre \(A(0;0)\), rapport \(2\). \(h_2\) : centre \(B(3;0)\), rapport \(\dfrac12\). Comme \(2\times\dfrac12=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Pour tout point \(M(x;y)\) :
\[ h_2(M)=B+\tfrac12(M-B)=\left(\tfrac{x+3}2;\tfrac y2\right),\qquad h_1\bigl(h_2(M)\bigr)=2\times h_2(M)=(x+3;y). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(3;0)\).
Translation de vecteur \(\vec u(p;q)\) : \(x'=x+p\), \(y'=y+q\). Homothétie de centre \(\Omega(a;b)\) et de rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
Composées de transformations, expressions analytiques et lieux géométriques
Rappel de SecondeTranslations, symétries, homothéties, rotations : toutes déplacent ou transforment les points du plan selon une règle précise. On peut les enchaîner, comme on enchaîne deux fonctions, et se demander quelle transformation unique produit le même effet. On peut aussi les décrire par des formules sur les coordonnées. Enfin, elles donnent une méthode très efficace pour trouver l'ensemble des positions d'un point qui dépend d'un autre.
Transformation du plan. C'est une application \(f\) du plan dans lui-même telle que tout point \(N\) du plan est l'image d'un point \(M\), et d'un seul. On dit que \(f\) est une bijection du plan. L'application qui, à chaque point \(N\), associe ce point \(M\) est la bijection réciproque de \(f\), notée \(f^{-1}\) : \(f(M)=N\) équivaut à \(M=f^{-1}(N)\).
- La réciproque de la translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
- Une symétrie centrale et une symétrie orthogonale sont leur propre réciproque.
- La réciproque de l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\).
Contre-exemple. La projection orthogonale sur une droite \((D)\) n'est pas une transformation : tous les points d'une même perpendiculaire à \((D)\) ont la même image, et un point hors de \((D)\) n'est l'image d'aucun point.
Composée. Si \(f\) et \(g\) sont deux transformations, la composée \(f\circ g\) est la transformation définie par \((f\circ g)(M)=f\big[g(M)\big]\) : on applique d'abord \(g\), puis \(f\).
Deux homothéties de même centre. La composée des homothéties de centre \(\Omega\) et de rapports \(k\) et \(k'\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(kk'\). En effet, si \(\overrightarrow{\Omega M_1}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}=k'\,\overrightarrow{\Omega M_1}\), alors \(\overrightarrow{\Omega M'}=kk'\,\overrightarrow{\Omega M}\). L'ordre n'a ici pas d'importance.
Deux symétries centrales. Soit \(s_A\) et \(s_B\) les symétries de centres \(A\) et \(B\). La composée \(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{AB}\). En effet, si \(M_1=s_A(M)\) et \(M'=s_B(M_1)\), alors \(A\) est le milieu de \([MM_1]\) et \(B\) celui de \([M_1M']\) : dans le triangle \(MM_1M'\), la droite des milieux donne \(\overrightarrow{MM'}=2\,\overrightarrow{AB}\).
Deux symétries orthogonales d'axes parallèles. Si \((d)\) et \((d')\) sont parallèles, \(s_{d'}\circ s_d\) est une translation : son vecteur est \(2\,\overrightarrow{HH'}\), où \(H\) est un point de \((d)\) et \(H'\) son projeté orthogonal sur \((d')\).
Deux symétries orthogonales d'axes perpendiculaires. Si \((d)\) et \((d')\) sont perpendiculaires en \(O\), \(s_{d'}\circ s_d\) est la symétrie de centre \(O\).
Dans un repère, on note \((x\,;y)\) les coordonnées d'un point \(M\) et \((x'\,;y')\) celles de son image \(M'\).
| Transformation | Expression analytique |
|---|---|
| Translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\) | \(x'=x+a\) ; \(y'=y+b\) |
| Symétrie de centre \(\Omega(a\,;b)\) | \(x'=2a-x\) ; \(y'=2b-y\) |
| Homothétie de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rapport \(k\) | \(x'=a+k(x-a)\) ; \(y'=b+k(y-b)\) |
Ces formules traduisent les définitions : \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) pour la translation ; \(\Omega\) milieu de \([MM']\) pour la symétrie ; \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\) pour l'homothétie. La symétrie de centre \(\Omega\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-1\).
Reconnaître une transformation. Des formules de la forme \(x'=kx+p\) et \(y'=ky+q\), avec le même coefficient \(k\) : si \(k=1\), c'est une translation de vecteur \((p\,;q)\) ; si \(k\neq 1\), c'est une homothétie de rapport \(k\), dont le centre est le point invariant, obtenu en résolvant \(x=kx+p\) et \(y=ky+q\).
Un lieu géométrique est l'ensemble de toutes les positions que peut occuper un point soumis à une condition. Quand un point \(M'\) dépend d'un point \(M\) qui décrit une figure connue, on procède ainsi.
1. Trouver la transformation. On cherche une transformation \(f\), indépendante de \(M\), telle que \(M'=f(M)\) : une égalité vectorielle comme \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) (translation) ou \(\overrightarrow{AM'}=k\,\overrightarrow{AM}\) avec \(A\) fixe (homothétie), un milieu fixe (symétrie centrale).
2. Conclure. Lorsque \(M\) décrit une figure \((F)\), le point \(M'\) décrit l'image \(f(F)\). Comme \(f\) est une bijection, tout point de \(f(F)\) est bien atteint : le lieu est exactement \(f(F)\).
3. Préciser l'image. L'image d'une droite est une droite parallèle, celle d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est un cercle de centre \(f(O)\) : son rayon est \(r\) pour une translation ou une symétrie, \(|k|\,r\) pour une homothétie de rapport \(k\).
Énoncé. Dans un repère, on donne \(\Omega(3\,;1)\) et \(A(1\,;2)\). a) Calculer les coordonnées de l'image de \(A\) par l'homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\), puis par la symétrie \(s\) de centre \(\Omega\). b) Donner l'expression analytique de \(h\). c) Reconnaître la transformation définie par \(x'=9-2x\) et \(y'=3-2y\).
Solution : a) Pour \(h\) : \(x'=3-2(1-3)=7\) et \(y'=1-2(2-1)=-1\), donc \(h(A)\) a pour coordonnées \((7\,;-1)\). Pour \(s\) : \(x'=6-1=5\) et \(y'=2-2=0\), donc \(s(A)\) a pour coordonnées \((5\,;0)\).
b) \(x'=3-2(x-3)=9-2x\) et \(y'=1-2(y-1)=3-2y\).
c) Les deux formules ont le même coefficient \(k=-2\), différent de 1 : c'est une homothétie de rapport \(-2\). Son centre est le point invariant : \(x=9-2x\) donne \(x=3\), et \(y=3-2y\) donne \(y=1\). On retrouve l'homothétie \(h\).
Énoncé. a) On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;3)\). Déterminer, par le calcul, la composée \(s_B\circ s_A\) des symétries de centres \(A\) et \(B\). Que vaut \(s_A\circ s_B\) ? b) Quelle est la composée de l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(-\dfrac12\) suivie de l'homothétie de centre \(O\) et de rapport 3 ?
Solution : a) Par \(s_A\), le point \(M(x\,;y)\) a pour image \(M_1(2-x\,;4-y)\). Par \(s_B\), le point \(M_1\) a pour image \(M'\) avec \(x'=8-(2-x)=x+6\) et \(y'=6-(4-y)=y+2\). Donc \(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \((6\,;2)\), qui est bien \(2\,\overrightarrow{AB}\) puisque \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\).
Dans l'autre ordre, on obtient la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{BA}\), de coordonnées \((-6\,;-2)\) : les deux composées sont différentes, ce sont des translations réciproques l'une de l'autre.
b) Les deux homothéties ont le même centre : la composée est l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(3\times\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac32\).
Énoncé. Soit \((\mathcal C)\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 3, et \(A\) un point fixe tel que \(OA=8\). À tout point \(M\) de \((\mathcal C)\), on associe le milieu \(I\) du segment \([AM]\). Quel est le lieu géométrique du point \(I\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal C)\) ?
Solution : \(I\) est le milieu de \([AM]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\,\overrightarrow{AM}\). Le point \(A\) étant fixe, \(I\) est l'image de \(M\) par l'homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac12\).
Lorsque \(M\) décrit le cercle \((\mathcal C)\), le point \(I\) décrit donc l'image de ce cercle par \(h\) : c'est le cercle de centre \(O'=h(O)\), milieu de \([AO]\), et de rayon \(\dfrac12\times 3=1{,}5\).
Vérification dans un repère d'origine \(O\) où \(A(8\,;0)\) : pour \(M(3\,;0)\), \(I(5{,}5\,;0)\) ; pour \(M(-3\,;0)\), \(I(2{,}5\,;0)\). Ces deux points sont bien à la distance \(1{,}5\) du point \(O'(4\,;0)\).
Figure — Le lieu du milieu I (exemple 3)
Le grand cercle, en bleu marine, a pour centre O et pour rayon 3 ; le point A est fixe. Pour un point M du grand cercle, le milieu I du segment [AM] est marqué en or. Lorsque M parcourt le grand cercle, I parcourt le petit cercle, tracé en or : son centre O' est le milieu de [AO] et son rayon vaut 1,5.
Inverser l'ordre d'une composée. Dans \(f\circ g\), on applique d'abord \(g\). Avec deux symétries centrales, \(s_B\circ s_A\) et \(s_A\circ s_B\) sont deux translations de vecteurs opposés.
Croire que la composée de deux symétries centrales est une symétrie centrale. C'est une translation : elle n'a aucun point invariant si \(A\) et \(B\) sont distincts.
Additionner les rapports. Pour deux homothéties de même centre, les rapports se multiplient : les rapports 3 et \(-\dfrac12\) donnent \(-\dfrac32\), non \(\dfrac52\).
Oublier de déplacer le centre. L'image d'un cercle par une homothétie n'a pas le même centre que le cercle de départ (sauf si ce centre est celui de l'homothétie) : dans l'exemple 3, le lieu est centré en \(O'\), et non en \(O\).
Rotation : définition, réciproque, composée
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Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
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Voir les offresFigure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Réflexions et composées de réflexions
Symétrie orthogonale par rapport à l'axe \((Ox)\) : \(x'=x\), \(y'=-y\). Symétrie orthogonale par rapport à l'axe \((Oy)\) : \(x'=-x\), \(y'=y\).
Exemple. Soit \(s\) la symétrie orthogonale par rapport à \((Ox)\). L'image de \(M(3;-5)\) est \(M'(3;5)\).
Rotations et symétries orthogonales sont des isométries : elles conservent les distances, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles. Contrairement à une homothétie de rapport \(|k|\neq1\), elles ne déforment jamais les figures.
Isométries du plan : classification et conservation
Toute isométrie du plan qui fixe un point \(\Omega\) est soit une rotation de centre \(\Omega\) (l'identité étant le cas particulier d'angle \(0°\)), soit une réflexion d'axe passant par \(\Omega\). Ces deux familles épuisent donc, à elles seules, toutes les isométries fixant un point donné.
Rotations et réflexions sont des isométries : elles conservent la distance, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, le contact (tangence) et les barycentres. Seule différence entre les deux familles : une rotation conserve le signe des angles orientés (chapitre 1, en commun avec les homothéties-translations), une réflexion l'inverse (chapitre 2).
Triangles isométriques, déplacements et antidéplacements
Les translations, les rotations et les symétries orthogonales ont un point commun : elles déplacent les figures sans les déformer. Ce sont des isométries. On les range en deux familles, selon qu'elles conservent ou non le sens de rotation des angles, et on apprend à les reconnaître par leurs points invariants. Les triangles isométriques donnent, eux, un moyen rapide de démontrer que deux longueurs ou deux angles sont égaux.
Une isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\), d'images \(M'\) et \(N'\), on a \(M'N'=MN\).
Propriétés. Une isométrie conserve l'alignement, le milieu, le parallélisme, l'orthogonalité, les angles géométriques et les aires. Elle transforme une droite en droite, un cercle en cercle de même rayon. La composée de deux isométries est une isométrie, et la réciproque d'une isométrie est une isométrie.
Points invariants des isométries usuelles.
| Isométrie | Ensemble des points invariants |
|---|---|
| identité | tout le plan |
| symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) | la droite \(\Delta\) |
| rotation d'angle non nul (dont la symétrie centrale) | un seul point : le centre |
| translation de vecteur non nul | aucun point |
Résultats admis. Une isométrie qui laisse fixes trois points non alignés est l'identité. Une isométrie qui laisse fixes deux points distincts \(A\) et \(B\) est l'identité ou la symétrie orthogonale d'axe \((AB)\). Une isométrie qui a un seul point invariant est une rotation de centre ce point.
Deux triangles sont isométriques lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Il existe alors une isométrie qui transforme l'un en l'autre ; leurs angles correspondants sont égaux et ils ont la même aire.
Critères. Deux triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont isométriques dès que l'une des conditions suivantes est vérifiée :
- \(AB=A'B'\), \(BC=B'C'\) et \(CA=C'A'\) (trois côtés) ;
- \(AB=A'B'\), \(AC=A'C'\) et \(\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}\) (un angle compris entre deux côtés de même longueur) ;
- \(AB=A'B'\), \(\widehat{CAB}=\widehat{C'A'B'}\) et \(\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}\) (un côté et les deux angles qui lui sont adjacents).
Dans la rédaction, on écrit les sommets dans l'ordre de la correspondance : « les triangles \(DAE\) et \(ABF\) sont isométriques » signifie que \(D\) correspond à \(A\), \(A\) à \(B\) et \(E\) à \(F\).
Un déplacement est une isométrie qui conserve les angles orientés : les translations et les rotations (la symétrie centrale est la rotation d'angle \(\pi\)). Un antidéplacement est une isométrie qui change chaque angle orienté en son opposé : les symétries orthogonales en sont les exemples usuels.
Composition. La composée de deux déplacements, ou de deux antidéplacements, est un déplacement. La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.
Deux symétries orthogonales. Soit \(s_\Delta\) et \(s_{\Delta'}\) les symétries d'axes \(\Delta\) et \(\Delta'\).
- Si \(\Delta\) et \(\Delta'\) sont parallèles, \(s_{\Delta'}\circ s_\Delta\) est la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{HH'}\), où \(H\) est un point de \(\Delta\) et \(H'\) son projeté orthogonal sur \(\Delta'\).
- Si \(\Delta\) et \(\Delta'\) se coupent en \(O\), \(s_{\Delta'}\circ s_\Delta\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2\theta\), où \(\theta\) est une mesure de l'angle orienté de \(\Delta\) vers \(\Delta'\).
Réciproquement, toute translation de vecteur \(\vec u\) non nul s'écrit \(s_{\Delta'}\circ s_\Delta\), avec \(\Delta\) perpendiculaire à \(\vec u\) choisie librement et \(\Delta'\) image de \(\Delta\) par la translation de vecteur \(\frac12\vec u\). Toute rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\) s'écrit \(s_{\Delta'}\circ s_\Delta\), avec \(\Delta\) passant par \(O\) choisie librement et \(\Delta'\) passant par \(O\), telle que l'angle de \(\Delta\) vers \(\Delta'\) mesure \(\frac{\alpha}{2}\).
Par les points invariants. On cherche les points \(M\) tels que \(f(M)=M\) (avec l'expression analytique, on résout \(x'=x\) et \(y'=y\)). Une droite de points invariants : symétrie orthogonale d'axe cette droite. Un seul point : rotation de centre ce point ; on trouve l'angle avec un point et son image. Aucun point : on calcule l'image de deux points ; si le vecteur \(\overrightarrow{MM'}\) est le même pour tous les points, c'est une translation.
Par les angles orientés. Pour savoir si une isométrie est un déplacement, on compare le sens d'un triangle et de son image : même sens de parcours, déplacement ; sens contraire, antidéplacement.
Pour démontrer une égalité de longueurs ou d'angles. On repère deux triangles qui contiennent ces éléments, on vérifie un critère d'isométrie en citant les trois égalités, puis on conclut sur les éléments correspondants. Pour obtenir en plus une perpendicularité, on cherche le déplacement qui envoie un triangle sur l'autre : une rotation d'angle droit transforme une droite en une droite perpendiculaire.
Énoncé. \(ABCD\) est un carré de côté 4, de sens direct, de centre \(O\). \(E\) est un point de \([AB]\) et \(F\) un point de \([BC]\) tels que \(AE=BF\). a) Montrer que les triangles \(DAE\) et \(ABF\) sont isométriques. b) Montrer que \(DE=AF\) et que les droites \((DE)\) et \((AF)\) sont perpendiculaires.
Solution : a) \(DA=AB\) (côtés du carré), \(AE=BF\) (hypothèse) et \(\widehat{DAE}=\widehat{ABF}\), deux angles droits. Les deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés de même longueur : ils sont isométriques. On en déduit déjà \(DE=AF\).
b) Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Elle transforme \(D\) en \(A\), \(A\) en \(B\), \(B\) en \(C\) (un quart de tour autour du centre du carré). Le point \(E\) est sur \([AB]\) avec \(AE=t\) ; son image est sur \([BC]\) avec \(BE'=t\) : c'est \(F\). La rotation \(r\) envoie donc le segment \([DE]\) sur le segment \([AF]\) : ces segments ont la même longueur, et l'angle de \((DE)\) à \((AF)\) est l'angle de la rotation, \(\dfrac{\pi}{2}\). Les droites sont perpendiculaires.
Contrôle en coordonnées, avec \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;0)\), \(D(0\,;4)\), \(E(t\,;0)\), \(F(4\,;t)\) : \(\overrightarrow{DE}(t\,;-4)\) et \(\overrightarrow{AF}(4\,;t)\), dont le produit scalaire est \(4t-4t=0\), et \(DE^2=AF^2=16+t^2\).
Figure — Le carré de l'exemple 1
Le carré ABCD, avec AE = BF = 1. Le quart de tour de centre O envoie le triangle DAE, en bleu, sur le triangle ABF, en or : le segment [DE] est envoyé sur le segment [AF]. Les deux segments ont la même longueur et se coupent à angle droit.
Énoncé. Dans un repère orthonormé, on note \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\), \(s_4\) les symétries orthogonales d'axes respectifs \(x=1\), \(x=4\), \(y=0\) et \(y=x\). Reconnaître \(s_2\circ s_1\), puis \(s_4\circ s_3\) et \(s_3\circ s_4\).
Solution : Les expressions analytiques sont \(s_1(x\,;y)=(2-x\,;y)\), \(s_2(x\,;y)=(8-x\,;y)\), \(s_3(x\,;y)=(x\,;-y)\) et \(s_4(x\,;y)=(y\,;x)\).
\(s_2\circ s_1(x\,;y)=s_2(2-x\,;y)=(8-(2-x)\,;y)=(x+6\,;y)\) : c'est la translation de vecteur \(\vec u(6\,;0)\). On retrouve le résultat du cours : les axes sont parallèles, à la distance 3, et le vecteur vaut deux fois le vecteur qui va du premier axe au second.
\(s_4\circ s_3(x\,;y)=s_4(x\,;-y)=(-y\,;x)\) : c'est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), le double de l'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) de l'axe \(y=0\) vers l'axe \(y=x\). Dans l'autre ordre, \(s_3\circ s_4(x\,;y)=s_3(y\,;x)=(y\,;-x)\) : c'est la rotation d'angle \(-\dfrac{\pi}{2}\). L'ordre de la composition compte.
Énoncé. On considère les transformations \(f(x\,;y)=(y+1\,;x-1)\) et \(g(x\,;y)=(-y+4\,;x)\). Montrer que ce sont des isométries, puis les reconnaître.
Solution : Pour \(M(x\,;y)\) et \(N(x_1\,;y_1)\), on a \(f(M)f(N)^2=(y_1-y)^2+(x_1-x)^2=MN^2\), et de même pour \(g\) : ce sont des isométries.
Points invariants de \(f\) : \(y+1=x\) et \(x-1=y\), deux fois la même condition. Tous les points de la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x-1\) sont invariants, et eux seuls : \(f\) est la symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\), un antidéplacement. Contrôle : \(f(3\,;0)=(1\,;2)\), et le milieu \((2\,;1)\) de ces deux points est bien sur \(\Delta\).
Points invariants de \(g\) : \(-y+4=x\) et \(x=y\), donc \(x=y=2\). Seul \(\Omega(2\,;2)\) est invariant : \(g\) est une rotation de centre \(\Omega\). Pour l'angle, \(\overrightarrow{\Omega M}(x-2\,;y-2)\) a pour image \(\overrightarrow{\Omega g(M)}(-y+2\,;x-2)\), qui s'en déduit par un quart de tour direct : l'angle est \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(g\) est un déplacement.
Croire qu'une isométrie sans point invariant est une translation. La transformation \((x\,;y)\mapsto(x+3\,;-y)\), symétrie par rapport à l'axe des abscisses suivie d'une translation le long de cet axe, n'a aucun point invariant ; c'est un antidéplacement, pas une translation. Il faut vérifier que \(\overrightarrow{MM'}\) est le même pour tous les points.
Utiliser « deux côtés et un angle » quand l'angle n'est pas compris entre eux. Avec \(AB=4\), \(AC=3\) et \(\widehat{ABC}=30^\circ\), on obtient deux triangles différents : \(BC=2\sqrt3+\sqrt5\approx 5{,}70\) ou \(BC=2\sqrt3-\sqrt5\approx 1{,}23\).
Conclure à l'isométrie à partir des seuls angles. Deux triangles qui ont les mêmes angles peuvent être de tailles différentes : il faut au moins un côté de même longueur.
Classer la symétrie centrale parmi les antidéplacements. C'est la rotation d'angle \(\pi\) : elle conserve les angles orientés, c'est un déplacement. Seule la symétrie orthogonale les change en leurs opposés.
Résumé
\((f\circ g)(M)=f\big[g(M)\big]\) : on applique \(g\), puis \(f\).
Même centre, rapport égal au produit \(kk'\).
\(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{AB}\).
Homothétie de centre \((a\,;b)\), rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Si \(M'=f(M)\) et si \(M\) décrit \((F)\), alors \(M'\) décrit \(f(F)\).
Une droite : symétrie orthogonale ; un point : rotation ; aucun : translation (ou composée non usuelle).
Trois côtés ; un angle compris entre deux côtés égaux ; un côté et ses deux angles adjacents.
Déplacements (translations, rotations) : angles orientés conservés. Antidéplacements : angles orientés changés en leurs opposés.
Axes parallèles : translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{HH'}\). Axes sécants en \(O\) : rotation de centre \(O\), d'angle double.
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; translation \(\vec u\to-\vec u\).
Rapport \(k_1k_2\) : homothétie si \(k_1k_2\neq1\), translation si \(k_1k_2=1\).
Distances multipliées par \(|k|\) ; alignement, parallélisme, orthogonalité conservés.
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Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(2;2)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=3\times(2;2)=(6;6)\), soit \(A'=(2+6;-1+6)=(8;5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(2;-1)\), rapport \(\dfrac13\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(3\). \(h_2\) : centre \(B(0;2)\), rapport \(\dfrac13\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur (en calculant l'image de \(O(0;0)\)).
\(3\times\dfrac13=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation. \(h_2(O)=B+\tfrac13(O-B)=(0;2)+\tfrac13(0;-2)=\left(0;\tfrac43\right)\). \(h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+3\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+3\left(-1;\tfrac43\right)=(1;0)+(-3;4)=(-2;4)\). Le vecteur de translation est \(\overrightarrow{O\,h_1(h_2(O))}=(-2;4)\).
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