Transformations ponctuelles et isométries

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est en réalité :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) l'identité seulement si le centre est l'origine

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$. L'image de $A(3;1)$ est :
a) $(-6;-2)$   b) $(6;2)$   c) $(-3;-1)$   d) $(1;3)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=4$ est :
a) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $-4$   b) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $\dfrac14$   c) la translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega\Omega}$   d) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $4$

4) $h_1$ de rapport $k_1=3$ et $h_2$ de rapport $k_2=\dfrac13$ (centres distincts) ont pour composée :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $9$   d) l'identité

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$   b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$   c) la rotation de centre $O$, angle $115°$   d) une translation

2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$   b) la rotation de centre $O$, angle $110°$   c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$   d) une homothétie

3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$   b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$   c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$   d) $(x;y)\mapsto(y;x)$

4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances   b) uniquement les angles   c) les distances et les angles   d) rien de particulier

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même   b) la réflexion d'axe $(Oy)$   c) l'identité   d) une translation

2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$   b) $(-7;-3)$   c) $(-7;3)$   d) $(3;7)$

3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation   b) une translation   c) une homothétie   d) une réflexion

4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$   b) $-(\vec u,\vec v)$   c) $2(\vec u,\vec v)$   d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre doit agrandir le plan d'une parcelle pour un dossier de lotissement. Sur le plan original, un sommet $A$ du terrain a pour coordonnées $A(2;3)$ et un autre sommet $B(4;-1)$, dans un repère dont l'origine $\Omega(0;0)$ est le coin de référence du lotissement. Le règlement impose un agrandissement de rapport $k=2{,}5$ pour établir le plan final.

Consigne : Déterminer les coordonnées des points $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par cette homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2{,}5$. Calculer ensuite les distances $AB$ et $A'B'$, et vérifier que $A'B'=2{,}5\times AB$ (propriété de conservation des distances à un facteur $k$ près).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.

Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.

Problème — Soit $h_1$ l'homothétie de centre $A(1;2)$, rapport $k_1=2$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B(4;0)$, rapport $k_2=\dfrac12$.

Partie A. 1) Justifier que $h_1\circ h_2$ est une homothétie-translation et calculer son rapport. 2) En déduire précisément la nature de $h_1\circ h_2$.

Partie B. Déterminer le vecteur de cette translation, en calculant l'image de $O(0;0)$ par $h_1\circ h_2$ (calculer d'abord $h_2(O)$, puis $h_1$ appliqué à ce résultat).

Partie C. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. 1) Donner l'expression analytique de $h_1\circ h_2$ sous la forme $(x';y')$ en fonction de $(x;y)$. 2) Vérifier la cohérence de cette expression avec le résultat de la Partie B en substituant $x=0$, $y=0$.

Problème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.

Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.

Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?

Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.

Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.

Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.

Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.

Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.