Première S1-S3 · Leçon 7
Statistique : série à deux variables
Exercices corrigés
Six mois de ventes : Mayer, puis moindres carrés
Le tableau donne le rang \(x\) d'un mois et le nombre \(y\) d'appareils vendus (en dizaines).
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 3 | 5 | 4 | 7 | 8 | 9 |
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) de la série.
2) On partage la série en deux groupes de trois points, selon l'ordre des \(x\). Calcule les points moyens \(G_1\) et \(G_2\), puis une équation de la droite de Mayer \((G_1G_2)\). Vérifie qu'elle passe par \(G\).
3) Calcule la covariance de la série et la variance de \(x\), puis une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.
4) Calcule le coefficient de corrélation linéaire (arrondi au centième) et interprète-le. Estime avec chaque droite les ventes du mois de rang 8.
Voir le corrigé
1) \(\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5\) et \(\bar y=\dfrac{3+5+4+7+8+9}{6}=\dfrac{36}{6}=6\). Donc \(G(3{,}5\,;6)\).
2) Premier groupe : \(G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\dfrac{3+5+4}{3}\right)=(2\,;4)\). Second groupe : \(G_2\left(\dfrac{4+5+6}{3}\,;\dfrac{7+8+9}{3}\right)=(5\,;8)\). Le coefficient directeur de \((G_1G_2)\) est \(\dfrac{8-4}{5-2}=\dfrac43\). Avec \(G_1\) : \(4=\dfrac43\times 2+b\), d'où \(b=\dfrac43\). La droite de Mayer a pour équation \(y=\dfrac43x+\dfrac43\). En \(x=3{,}5\) : \(\dfrac43\times 3{,}5+\dfrac43=\dfrac{14}{3}+\dfrac43=6\) : elle passe par \(G\).
3) \(\sum x_iy_i=3+10+12+28+40+54=147\), donc \(\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{147}{6}-3{,}5\times 6=24{,}5-21=3{,}5\). \(\sum x_i^2=91\), donc \(V(x)=\dfrac{91}{6}-3{,}5^2=\dfrac{35}{12}\). Le coefficient directeur est \(a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}=\dfrac{3{,}5}{35/12}=1{,}2\), et \(b=\bar y-a\bar x=6-1{,}2\times 3{,}5=1{,}8\). La droite de régression de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y=1{,}2x+1{,}8\).
4) \(\sum y_i^2=244\), donc \(V(y)=\dfrac{244}{6}-36=\dfrac{14}{3}\). Alors \(r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)V(y)}}=\dfrac{3{,}5}{\sqrt{\frac{35}{12}\times\frac{14}{3}}}\approx 0{,}95\). Ce coefficient est proche de 1 : la corrélation linéaire est forte et positive, un ajustement affine est justifié. Pour \(x=8\) : la droite des moindres carrés donne \(1{,}2\times 8+1{,}8=11{,}4\), soit environ 114 appareils ; la droite de Mayer donne \(\dfrac43\times 8+\dfrac43=12\), soit 120 appareils. C'est une extrapolation : elle suppose que la tendance se maintient au-delà des données.
Réponse : \(G(3{,}5\,;6)\) ; droite de Mayer \(y=\dfrac43x+\dfrac43\) ; \(\mathrm{cov}(x,y)=3{,}5\), \(V(x)=\dfrac{35}{12}\), droite de régression \(y=1{,}2x+1{,}8\) ; \(r\approx 0{,}95\) ; estimations 11,4 et 12 dizaines pour le rang 8.
Prix et ventes : une corrélation négative
Un commerçant relève, pour cinq prix \(x\) (en centaines de francs), le nombre \(y\) d'articles vendus en une semaine.
| \(x\) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 15 | 12 | 10 | 7 | 6 |
1) Calcule \(\bar x\), \(\bar y\), puis la covariance en utilisant les écarts aux moyennes.
2) Calcule \(V(x)\), \(V(y)\) et le coefficient de corrélation linéaire \(r\) (arrondi au centième). Que peut-on en dire ?
3) Détermine la droite de régression de \(y\) en \(x\) et la droite de régression de \(x\) en \(y\). Vérifie que le produit de leurs coefficients est égal à \(r^2\).
4) Estime le nombre d'articles vendus au prix de 500 francs, puis le prix pour lequel on peut espérer vendre 9 articles.
Les deux droites à partir des paramètres
Pour une série double, on donne : \(\bar x=10\), \(\bar y=50\), \(V(x)=4\), \(V(y)=25\) et \(\mathrm{cov}(x,y)=9\).
1) Calcule le coefficient de corrélation linéaire.
2) Écris une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) et une équation de la droite de régression de \(x\) en \(y\).
3) Vérifie que ces deux droites passent par le point moyen.
4) Estime \(y\) pour \(x=12\), puis \(x\) pour \(y=59\).
Voir le corrigé
1) \(r=\dfrac{9}{\sqrt{4\times 25}}=\dfrac{9}{10}=0{,}9\) : la corrélation linéaire est forte et positive.
2) Droite de \(y\) en \(x\) : \(a=\dfrac94=2{,}25\) et \(b=50-2{,}25\times 10=27{,}5\), d'où \(y=2{,}25x+27{,}5\). Droite de \(x\) en \(y\) : \(a'=\dfrac{9}{25}=0{,}36\) et \(b'=10-0{,}36\times 50=-8\), d'où \(x=0{,}36y-8\).
3) \(2{,}25\times 10+27{,}5=50\) et \(0{,}36\times 50-8=10\) : les deux droites passent par \(G(10\,;50)\). C'est toujours le cas, par construction de \(b\) et de \(b'\).
4) Pour \(x=12\), avec la droite de \(y\) en \(x\) : \(y=2{,}25\times 12+27{,}5=54{,}5\). Pour \(y=59\), avec la droite de \(x\) en \(y\) : \(x=0{,}36\times 59-8=13{,}24\).
Réponse : \(r=0{,}9\) ; \(y=2{,}25x+27{,}5\) et \(x=0{,}36y-8\), toutes deux passant par \(G(10\,;50)\) ; estimations \(y\approx 54{,}5\) et \(x\approx 13{,}24\).