Produit scalaire dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$   b) colinéaires   c) égaux   d) coplanaires seulement

2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$   b) $34$   c) $10$   d) $\sqrt{10}$

3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$   b) $(3;1;2)$   c) $(-3;-1;2)$   d) $(3;-1;-2)$

4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$   b) parallèles   c) confondus   d) ni perpendiculaires ni parallèles

Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.

1) Calculer la distance $AB$.

2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.

3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.

4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?