Première S1-S3 · Leçon 18
Primitives
Exercices corrigés
Une primitive qui prend une valeur donnée
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=4x^3-6x+2\).
1) Détermine toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).
2) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(1)=3\).
3) Vérifie ton résultat en dérivant \(F\), puis calcule \(F(0)\) et \(F(-1)\).
Voir le corrigé
1) Une primitive de \(x^3\) est \(\dfrac{x^4}{4}\), donc une primitive de \(4x^3\) est \(x^4\) ; une primitive de \(-6x\) est \(-3x^2\) ; une primitive de \(2\) est \(2x\). Les primitives de \(f\) sont les fonctions \(x\mapsto x^4-3x^2+2x+C\), où \(C\) est une constante réelle.
2) \(F(1)=1-3+2+C=C\). La condition \(F(1)=3\) donne \(C=3\), donc \(F(x)=x^4-3x^2+2x+3\).
3) \(F'(x)=4x^3-6x+2=f(x)\). Puis \(F(0)=3\) et \(F(-1)=1-3-2+3=-1\).
Réponse : Primitives : \(x\mapsto x^4-3x^2+2x+C\) ; \(F(x)=x^4-3x^2+2x+3\) ; \(F(0)=3\) et \(F(-1)=-1\).
Inverses de puissances sur un intervalle sans 0
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+x\).
1) Pourquoi travaille-t-on sur \(]0\,;+\infty[\) et non sur \(\mathbb R\) ?
2) Détermine une primitive \(G\) de \(g\) sur \(]0\,;+\infty[\).
3) Détermine la primitive \(G_0\) de \(g\) qui s'annule en 1, puis calcule \(G_0(2)\).
Voir le corrigé
1) La fonction \(g\) n'est pas définie en 0. Une primitive se cherche sur un intervalle où la fonction est définie : on choisit \(]0\,;+\infty[\) (on pourrait aussi travailler sur \(]-\infty\,;0[\)).
2) Une primitive de \(\dfrac1{x^3}\) est \(-\dfrac{1}{2x^2}\), donc une primitive de \(\dfrac{2}{x^3}\) est \(-\dfrac{1}{x^2}\). Une primitive de \(\dfrac1{x^2}\) est \(-\dfrac1x\), donc une primitive de \(-\dfrac1{x^2}\) est \(\dfrac1x\). Une primitive de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\). D'où \(G(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x+\dfrac{x^2}{2}\). Contrôle : \(G'(x)=\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^2}+x=g(x)\).
3) \(G(1)=-1+1+\dfrac12=\dfrac12\). La primitive qui s'annule en 1 est \(G_0(x)=G(x)-\dfrac12=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac12\). Alors \(G_0(2)=-\dfrac14+\dfrac12+2-\dfrac12=\dfrac74\).
Réponse : \(g\) n'est pas définie en 0 ; \(G(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac1x+\dfrac{x^2}{2}\) ; \(G_0(x)=G(x)-\dfrac12\) et \(G_0(2)=\dfrac74\).
Fonctions trigonométriques
1) Détermine une primitive sur \(\mathbb R\) de \(h(x)=3\cos(2x)-\sin\!\left(\dfrac x2+\dfrac{\pi}{4}\right)\).
2) Détermine la primitive de \(h\) qui s'annule en 0.
3) En utilisant l'égalité \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\), écris \(\sin^2x\) sans carré, puis détermine la primitive de \(x\mapsto\sin^2x\) qui s'annule en 0.