Formules trigonométriques, équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$   b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$   c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$   d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$   b) $-\dfrac{7}{25}$   c) $\dfrac{9}{25}$   d) $-\dfrac{9}{25}$

3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$   b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$   c) $1+\cos(2x)$   d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$

4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$   b) $\sqrt3$   c) $4$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $\dfrac{\sqrt3}2$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $1$

2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $-\dfrac12$   c) $\dfrac{\sqrt3}2$   d) $-\dfrac{\sqrt3}2$

3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$   b) $-\cos x$   c) $\sin x$   d) $-\sin x$

4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$   b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement   c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$   d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?

Exercice supplémentaire. Un artisan fabrique une roue décorative à 12 rayons régulièrement espacés (angle de $30°$ entre deux rayons consécutifs).

1) Convertir $30°$ en radians.
2) Calculer $\cos(150°)$ et $\sin(150°)$ à l'aide des angles associés ($150°=180°-30°$).
3) Un rayon fait un angle de $240°$ avec l'horizontale : donner les coordonnées de son extrémité sur le cercle trigonométrique.

Problème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.

Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.

Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).

Problème. Un artisan fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).

Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.

Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.