Première S1-S3 · Leçon 14
Fonction numérique d’une variable réelle : généralités
Exercices corrigés
Image directe, image réciproque et encadrement d'un trinôme
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^2-4x+3\).
1) Écris \(f(x)\) sous la forme \((x-\alpha)^2+\beta\), puis donne le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty\,;2]\) et sur \([2\,;+\infty[\).
2) Détermine l'image directe \(f([0\,;3])\).
3) Détermine l'image réciproque \(f^{-1}([0\,;3])\).
4) La fonction \(f\) est-elle minorée sur \(\mathbb R\) ? majorée sur \(\mathbb R\) ? bornée sur \([0\,;3]\) ?
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1) \(x^2-4x+3=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1\). La fonction \(x\mapsto(x-2)^2\) est la fonction carré décalée de 2 vers la droite : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\) et croissante sur \([2\,;+\infty[\), avec \(f(2)=-1\).
2) Sur \([0\,;2]\), \(f\) décroît de \(f(0)=3\) à \(f(2)=-1\) ; sur \([2\,;3]\), elle croît de \(-1\) à \(f(3)=0\). Les valeurs prises vont de \(-1\) à 3 : \(f([0\,;3])=[-1\,;3]\).
3) On cherche les réels \(x\) tels que \(0\le(x-2)^2-1\le 3\), c'est-à-dire \(1\le(x-2)^2\le 4\), soit \(1\le|x-2|\le 2\). Cela donne \(-2\le x-2\le -1\) ou \(1\le x-2\le 2\), donc \(f^{-1}([0\,;3])=[0\,;1]\cup[3\,;4]\). Contrôle : \(f(1)=0\) et \(f(4)=3\).
4) Pour tout réel \(x\), \((x-2)^2\ge 0\), donc \(f(x)\ge -1\) : \(f\) est minorée par \(-1\), qui est son minimum. Elle n'est pas majorée sur \(\mathbb R\) : pour tout réel \(M\) positif, \(x=2+\sqrt{M+1}+1\) donne \(f(x)=(\sqrt{M+1}+1)^2-1\gt M\). Sur \([0\,;3]\), d'après la question 2, \(-1\le f(x)\le 3\) : \(f\) y est bornée.
Réponse : \(f(x)=(x-2)^2-1\) ; \(f([0\,;3])=[-1\,;3]\) ; \(f^{-1}([0\,;3])=[0\,;1]\cup[3\,;4]\) ; minorée par \(-1\) sur \(\mathbb R\), non majorée, bornée sur \([0\,;3]\).
Parité, période, encadrement et fonction associée
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\cos(2x)-1\).
1) Montre que \(f\) est paire et périodique de période \(\pi\). Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ?
2) Montre que \(f\) est bornée sur \(\mathbb R\). Résous dans \([0\,;\pi]\) les équations \(f(x)=0\) et \(f(x)=-2\).
3) Écris \(f\) comme la composée de deux fonctions simples.
4) On pose \(k(x)=f\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+1\). Montre que \(k(x)=\sin(2x)\). Comment obtient-on la courbe de \(k\) à partir de celle de \(f\) ?
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1) Pour tout réel \(x\), \(-x\) est réel et \(f(-x)=\cos(-2x)-1=\cos(2x)-1=f(x)\) : \(f\) est paire. De plus \(f(x+\pi)=\cos(2x+2\pi)-1=f(x)\) : \(f\) est périodique de période \(\pi\). Il suffit de l'étudier sur un intervalle de longueur \(\pi\), par exemple \(\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]\), et grâce à la parité sur \(\left[0\,;\dfrac\pi2\right]\) ; on complète ensuite la courbe par symétrie d'axe \((Oy)\), puis par translation.
2) Comme \(-1\le\cos(2x)\le 1\), on a \(-2\le f(x)\le 0\) pour tout réel \(x\) : \(f\) est bornée. \(f(x)=0\) équivaut à \(\cos(2x)=1\), soit \(2x=2k\pi\), \(x=k\pi\) : dans \([0\,;\pi]\), les solutions sont 0 et \(\pi\). \(f(x)=-2\) équivaut à \(\cos(2x)=-1\), soit \(2x=\pi+2k\pi\) : dans \([0\,;\pi]\), la seule solution est \(\dfrac\pi2\). Les bornes 0 et \(-2\) sont donc le maximum et le minimum de \(f\).
3) Avec \(h(x)=2x\) et \(g(t)=\cos t-1\), on a \(f(x)=g(h(x))\), c'est-à-dire \(f=g\circ h\).
4) \(k(x)=\cos\!\left(2x-\dfrac\pi2\right)-1+1=\cos\!\left(2x-\dfrac\pi2\right)=\sin(2x)\), car \(\cos\!\left(\theta-\dfrac\pi2\right)=\sin\theta\). La fonction \(x\mapsto f(x-a)+b\) a pour courbe l'image de celle de \(f\) par la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\) : ici \(\vec u\left(\dfrac\pi4\,;1\right)\).
Réponse : \(f\) est paire, de période \(\pi\) ; \(-2\le f(x)\le 0\) ; dans \([0\,;\pi]\) : \(f(x)=0\) pour 0 et \(\pi\), \(f(x)=-2\) pour \(\dfrac\pi2\) ; \(f=g\circ h\) avec \(h(x)=2x\), \(g(t)=\cos t-1\) ; \(k(x)=\sin(2x)\), courbe obtenue par la translation de vecteur \(\left(\dfrac\pi4\,;1\right)\).