Première S1-S3 · Leçon 17
Étude de fonctions
Exercices corrigés
Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes
Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.
Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.
Voir le corrigé
- $5x-1=\dfrac52(2x+4)-11$ (car $\dfrac52(2x+4)=5x+10$, et $-1-10=-11$), donc $a=\dfrac52$, $b=-11$ : $f(x)=\dfrac52-\dfrac{11}{2x+4}$.
- Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{11}{2x+4}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac52$. Asymptote horizontale : $y=\dfrac52$.
- Quand $x\to(-2)^+$, $2x+4\to0^+$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-2)^-$, $2x+4\to0^-$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. Asymptote verticale : $x=-2$.
- $f(x)-\dfrac52=-\dfrac{11}{2x+4}$. Pour $x>-2$, $2x+4>0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}<0$ : $f(x)<\dfrac52$. Pour $x<-2$, $2x+4<0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}>0$ : $f(x)>\dfrac52$.
- Sur $]-2;+\infty[$, la courbe de $f$ reste en dessous de l'asymptote $y=\dfrac52$ ; sur $]-\infty;-2[$, elle reste au-dessus.
Une fonction rationnelle : asymptotes, variations, centre de symétrie
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+3}{x-1}\).
1) Détermine trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}\) pour tout \(x\neq 1\).
2) Montre que la courbe de \(f\) admet deux asymptotes, dont une oblique, et précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
3) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).
4) Montre que le point \(\Omega(1\,;-1)\) est un centre de symétrie de la courbe.
Une fonction polynôme du troisième degré
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(g(x)=x^3-3x+1\).
1) Étudie les variations de \(g\) et donne ses extremums locaux.
2) Montre que le point \(I(0\,;1)\) est centre de symétrie de la courbe de \(g\).
3) Montre que l'équation \(g(x)=0\) a exactement trois solutions, situées respectivement dans \(]-2\,;-1[\), \(]-1\,;1[\) et \(]1\,;2[\).
Voir le corrigé
1) \(g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\), positif sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), négatif sur \(]-1\,;1[\). Donc \(g\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\) ; maximum local \(g(-1)=-1+3+1=3\), minimum local \(g(1)=1-3+1=-1\).
2) \(g(-x)+g(x)=(-x^3+3x+1)+(x^3-3x+1)=2=2\times 1\) pour tout réel \(x\) : le point \(I(0\,;1)\) est centre de symétrie.
3) \(g\) est continue. Sur \([-2\,;-1]\), elle est strictement croissante de \(g(-2)=-1\) à \(g(-1)=3\) : 0 a un seul antécédent, dans \(]-2\,;-1[\). Sur \([-1\,;1]\), elle est strictement décroissante de 3 à \(-1\) : un seul antécédent, dans \(]-1\,;1[\). Sur \([1\,;2]\), strictement croissante de \(-1\) à \(g(2)=3\) : un seul, dans \(]1\,;2[\). Ailleurs, \(g(x)\lt g(-2)\lt 0\) pour \(x\lt -2\) et \(g(x)\gt g(2)\gt 0\) pour \(x\gt 2\) : il n'y a pas d'autre solution.
Réponse : \(g\) croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\) ; maximum local 3, minimum local \(-1\) ; centre de symétrie \(I(0\,;1)\) ; trois solutions, une dans chacun des intervalles donnés.