Première S1-S3 · Leçon 5
Droites, plans, sphère
Exercices corrigés
QCM — Parallélisme, orthogonalité & sphère
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Sphère de centre $O$ et de rayon $R=10$. Un plan $P$ est à distance $d=6$ de $O$. La section est :
a) un cercle de rayon $8$ b) un point unique c) vide d) un cercle de rayon $6$
2) Si $d=R$, le plan $P$ est :
a) sécant b) tangent c) extérieur d) confondu avec la sphère
3) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :
a) une droite du plan b) deux droites parallèles du plan c) deux droites sécantes du plan d) toutes les droites du plan, une par une
4) Sphère de rayon $R=7$. Un plan $P$ est à distance $d=9$ de son centre. La section est :
a) un cercle b) un point c) vide (plan extérieur) d) indéterminée
Situation d'intégration — Château d'eau sphérique
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un château d'eau de forme sphérique, de rayon $6$ m, alimente un village. Une canalisation horizontale traverse le terrain dans un plan situé à $4{,}5$ m du centre du réservoir, et coupe donc la sphère selon un cercle.
Le cahier des charges de l'entreprise de construction impose qu'au niveau de cette canalisation, le cercle d'intersection ait un rayon d'au moins $4$ m, afin de garantir suffisamment d'espace pour les supports structurels du réservoir.
Consigne : Calculer le rayon du cercle formé par l'intersection du plan et de la sphère (arrondi au centième), puis dire si l'installation respecte l'exigence du cahier des charges.
Voir le corrigé
- Nature de la section. $R=6$, $d=4{,}5$ : $d<R$, le plan est sécant, la section est un cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
- Calcul. $r=\sqrt{6^2-4{,}5^2}=\sqrt{36-20{,}25}=\sqrt{15{,}75}\approx3{,}97$ m.
- Conclusion. $3{,}97$ m $<4$ m : l'installation ne respecte pas tout à fait l'exigence du cahier des charges (le rayon obtenu est légèrement inférieur au minimum demandé) — il faudrait rapprocher légèrement la canalisation du centre du réservoir pour l'atteindre.
Situation d'intégration — Charpente d'un chantier scolaire
Exercice 2 — Situation d'intégration
Sur le chantier de rénovation d'un lycée, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.
Consigne :
1) Donner le vecteur normal du plan $P$.
2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).
3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?
Problème — Sphère et plan tangent
Problème — Une sphère de centre $O$ a pour rayon $R=17$.
Partie A. 1) Un plan $P_1$ est situé à distance $d_1=8$ de $O$. Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon exact. 2) Un plan $P_2$ est situé à distance $d_2=17$ de $O$. Quelle est la nature de la section ?
Partie B. On considère à présent un plan $P_3$ dont on sait qu'il coupe la sphère selon un cercle de rayon $r_3=15$. 1) Calculer la distance $d_3$ du centre $O$ au plan $P_3$. 2) Comparer $d_3$ et $d_1$ (de la Partie A) et en déduire lequel des deux plans, $P_1$ ou $P_3$, est le plus proche du centre $O$.
Problème — Plan déterminé par 3 points et position d'une droiteApprofondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Partie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.
1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).
3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.
4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?
5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;-3)$.
- Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étaient colinéaires, on aurait $2/1=-2/1$, ce qui est faux : ils ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan.
- $(ABC):\ \begin{cases}x=1+2t+t'\\y=-2t+t'\\z=2+2t-3t'\end{cases}$, $(t,t')\in\mathbb R^2$.
- $2+3-4-1=0$ : $D\in P$.
- Vecteur normal de $P$ : $\vec n(1;1;-1)$. $\vec n\cdot\vec v=1+1-1=1\neq0$ : $\vec v$ n'est pas orthogonal à $\vec n$, donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $P$ — elle lui est sécante. En paramétrant $\Delta:\ (2+s;3+s;4+s)$ et en substituant dans l'équation de $P$ : $(2+s)+(3+s)-(4+s)-1=s$, nul uniquement pour $s=0$ : l'unique point d'intersection est donc $D$ lui-même.
- En injectant $A(1;0;0)$ dans $ax+by+cz=d$ : $a=d$. En injectant $B(0;1;0)$ : $b=d$. En injectant $C(0;0;1)$ : $c=d$. Donc $a=b=c=d$ : en choisissant $d=1$, on obtient $a=b=c=1$, soit l'équation $x+y+z=1$. Vérification : $A$ : $1+0+0=1$ ✓ ; $B$ : $0+1+0=1$ ✓ ; $C$ : $0+0+1=1$ ✓.
- On remplace par les coordonnées de $D(1;1;1)$ : $1+1+1=3\neq1$. Donc $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.
Approfondissement — Équation d'un plan défini par 3 points
Exercice 4 — Approfondissement
Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.
1) On cherche une équation du plan $(ABC)$ sous la forme $ax+by+cz=d$. En utilisant les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, montrer que l'on peut choisir $a=b=c=1$ et $d=1$.
2) Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?