Première S1-S3 · Leçon 1
Compléments sur le calcul vectoriel
Exercices corrigés
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
Situation d'intégration — Stockage mutualisé au marchéProblème — Intersection cercle-droite et barycentreExercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice 2 — Situation d'intégration
Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.
Voir le corrigé
- $x_G=\dfrac{2\times0+1\times12+3\times6}{2+1+3}=\dfrac{30}6=5$. $y_G=\dfrac{2\times0+1\times0+3\times9}6=\dfrac{27}6=4{,}5$. $G(5;4{,}5)$.
- $AG=\sqrt{5^2+4{,}5^2}=\sqrt{25+20{,}25}=\sqrt{45{,}25}\approx6{,}73$.
- $G'=\left(\dfrac{0+12+6}3;\dfrac{0+0+9}3\right)=(6;3)$. $G'$ est plus proche de $B$ et $C$ que $G$ ($y_{G'}=3<y_G=4{,}5$) : sans le poids fort de $C$, le point d'équilibre redescend et se décale légèrement vers la droite.
- Substitution : $x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$. $\Delta=1+48=49$. $x=\dfrac{1\pm7}2$, soit $x=4$ ou $x=-3$. Points $A(4;3)$ et $B(-3;-4)$.
- $x_G=\dfrac{3\times4+1\times(-3)}4=\dfrac94=2{,}25$. $y_G=\dfrac{3\times3+1\times(-4)}4=\dfrac54=1{,}25$. $G(2{,}25;1{,}25)$.
- La droite $(AB)$ est justement $y=x-1$ (les deux points en sont issus). On vérifie $y_G=x_G-1$ : $2{,}25-1=1{,}25=y_G$ : confirmé, $G$ est bien sur $(AB)$ — cohérent avec le fait que le barycentre de deux points est toujours situé sur la droite qui les joint.
- $G=\left(\dfrac{1\times0+1\times6+2\times0}{1+1+2}\,;\,\dfrac{1\times0+1\times0+2\times8}{1+1+2}\right)=\left(\dfrac{6}{4}\,;\,\dfrac{16}{4}\right)=(1{,}5\,;4)$.
- $GC=\sqrt{(1{,}5-0)^2+(4-8)^2}=\sqrt{2{,}25+16}=\sqrt{18{,}25}\approx4{,}27$.
- Le cercle de centre $C$ et de rayon $3$ contient les points à distance exactement $3$ de $C$. Or $GC\approx4{,}27>3$ : $G$ n'appartient pas à ce cercle.
Exercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).
1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?
Problème — Isobarycentre, colinéarité, combinaison linéaire
Problème.
Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).
Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.
Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.
Problème — Ensemble de points et cercle de diamètre
Problème.
Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.
Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).
Voir le corrigé
- D'après le cours, c'est le cercle de diamètre $[AB]$.
- Centre $I$ = milieu de $[AB]$ = $\left(\dfrac{-2+4}2;0\right)=(1;0)$. Rayon $=IA=|1-(-2)|=3$.
- $(x-1)^2+y^2=9$.
- Équation : $(1-1)^2+3^2=0+9=9$ : $M$ vérifie l'équation, donc appartient au cercle. Vérification directe : $\overrightarrow{MA}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{MB}=(3;-3)$, $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-9+9=0$ : confirmé.