Première S1-S3 · Leçon 10
Applications
Exercices corrigés
QCM — Applications & polynômes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. L'application $f$ est :
a) injective b) surjective c) bijective d) ni injective ni surjective
2) Soit $g:[0;+\infty[\to[0;+\infty[$, $g(x)=x^2$. L'application $g$ est :
a) injective seulement b) surjective seulement c) bijective d) ni injective ni surjective
3) Le polynôme $P(x)=x^3-3x^2+4$ admet $x=-1$ pour racine. Après division euclidienne par $(x+1)$, le quotient est :
a) $x^2-2x+2$ b) $x^2-4x+4$ c) $x^2-2x-4$ d) $x^2+2x-4$
4) Le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $x_1$ et $x_2$. La valeur de $x_1+x_2$ est :
a) $-7$ b) $7$ c) $10$ d) $-10$
Voir le corrigé
- Réponse : d. $f(-2)=f(2)=4$ donc $f$ n'est pas injective ; $-1$ n'a pas d'antécédent réel donc $f$ n'est pas surjective.
- Réponse : c. Sur $[0;+\infty[$, $g$ est strictement croissante (injective) et prend toutes les valeurs de $[0;+\infty[$ (surjective) : $g$ est bijective, de réciproque $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$.
- Réponse : c. Division euclidienne : $x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)$. Vérification : $(x+1)(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^3-3x^2+4$. ✓
- Réponse : b. Pour $ax^2+bx+c$, la somme des racines vaut $-b/a$. Ici $-(-7)/1=7$.
Bijective ou non ? Puis une restriction
On considère les applications \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(x\mapsto 3x-5\), et \(g:\mathbb R\to\mathbb R\), \(x\mapsto x^2+1\).
1) Montre que \(f\) est une bijection et détermine sa bijection réciproque.
2) Montre que \(g\) n'est ni injective, ni surjective.
3) Montre que la restriction de \(g\) à \([0\,;+\infty[\), considérée comme application de \([0\,;+\infty[\) dans \([1\,;+\infty[\), est une bijection. Donne sa réciproque.
Voir le corrigé
1) Soit \(y\) un réel. L'équation \(3x-5=y\) a une solution et une seule : \(x=\dfrac{y+5}{3}\). Tout réel a donc exactement un antécédent : \(f\) est bijective, et \(f^{-1}(y)=\dfrac{y+5}{3}\). Contrôle : \(f\!\left(\dfrac{y+5}{3}\right)=y+5-5=y\).
2) \(g(-1)=g(1)=2\) alors que \(-1\neq 1\) : \(g\) n'est pas injective. Pour tout réel \(x\), \(x^2+1\ge 1\) : le réel 0 n'a pas d'antécédent, donc \(g\) n'est pas surjective.
3) Soit \(y\ge 1\). L'équation \(x^2+1=y\), avec \(x\ge 0\), s'écrit \(x^2=y-1\) avec \(y-1\ge 0\) ; elle a une seule solution positive, \(x=\sqrt{y-1}\). Tout élément de \([1\,;+\infty[\) a donc exactement un antécédent dans \([0\,;+\infty[\) : cette restriction est bijective, de réciproque \(y\mapsto\sqrt{y-1}\).
Réponse : \(f\) est bijective, \(f^{-1}(y)=\dfrac{y+5}{3}\) ; \(g\) n'est pas injective (\(g(-1)=g(1)\)) ni surjective (0 sans antécédent) ; sa restriction de \([0\,;+\infty[\) dans \([1\,;+\infty[\) est bijective, de réciproque \(y\mapsto\sqrt{y-1}\).
Une fonction homographique bijective
Soit \(h\) l'application de \(\mathbb R\setminus\{2\}\) dans \(\mathbb R\setminus\{1\}\) définie par \(h(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\).
1) Vérifie que \(h(x)\) n'est jamais égal à 1, ce qui justifie l'ensemble d'arrivée.
2) Soit \(y\neq 1\). Résous l'équation \(h(x)=y\) et vérifie que la solution est différente de 2.
3) Conclus et donne la bijection réciproque \(h^{-1}\). Calcule \(h(5)\) et \(h^{-1}(2)\).