Suites numériques

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Exercice 2 — Suite géométrique

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.

Exercice 3 — Récurrence et monotonie

$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.

1. $u_1,u_2,u_3$  2. Montrer $u_n<6$  3. Montrer croissance. Conclure.

Exercice 4 — Convergence

$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.

Exercice 4 — Point fixe

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.

Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 4 — Somme géométrique et limite

Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.

Exercice 5 — Intérêts composés

On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1) Étudie le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\), puis résous dans cet intervalle l'équation \(f(x)=x\).

2) Calcule \(u_1\) et \(u_2\). Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\).

3) Justifie que la suite \((u_n)\) converge, puis détermine sa limite \(\ell\).

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(4-u_{n+1}=\dfrac{4-u_n}{u_n+2}\), puis que \(0\leq 4-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{3}\left(4-u_n\right)\). Déduis-en par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq 4-u_n\leq 3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\).

5) Retrouve la limite de \((u_n)\) à l'aide de cet encadrement. Détermine ensuite le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\leq 10^{-3}\) et interprète le résultat pour le terme \(u_n\) correspondant.

Une coopérative exploite une plantation de 2400 tecks. Chaque année, elle abat 15 % des arbres présents au début de l'année, puis elle replante 600 jeunes arbres. On note \(u_n\) le nombre d'arbres de la plantation au début de l'année de rang \(n\) ; ainsi \(u_0=2400\). Les valeurs de \(u_n\) sont celles du modèle : elles ne sont pas forcément entières.

1) Calcule \(u_1\) et \(u_2\), puis justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}85\,u_n+600\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?

2) On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=u_n-4000\). Démontre que la suite \((v_n)\) est géométrique, puis exprime \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

3) Démontre que la suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 4000. Détermine sa limite et interprète ce résultat pour la plantation.

4) Au début de quelle année la plantation comptera-t-elle pour la première fois au moins 3500 arbres ? Tu résoudras une inéquation à l'aide du logarithme népérien.

5) Calcule la somme \(u_0+u_1+\cdots+u_9\), puis le nombre total d'arbres abattus au cours des dix premières années, arrondi à l'unité. Vérifie la cohérence de ce résultat avec le nombre d'arbres replantés pendant ces dix années et la valeur de \(u_{10}\).

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n=\int_{1}^{e}x\left(\ln x\right)^{n}dx\), avec la convention \(\left(\ln x\right)^{0}=1\). Ainsi \(I_0=\int_{1}^{e}x\,dx\).

1) Calcule \(I_0\). À l'aide d'une intégration par parties, calcule \(I_1\).

2) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_n\geq 0\) et \(I_{n+1}\leq I_n\). Que peux-tu en déduire pour la suite \((I_n)\) ?

3) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(2I_{n+1}+(n+1)I_n=e^{2}\). Vérifie cette relation avec \(I_0\) et \(I_1\), puis calcule \(I_2\).

4) En utilisant les questions 2 et 3, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{e^{2}}{n+3}\leq I_n\leq\dfrac{e^{2}}{n+1}\).

5) Détermine la limite de la suite \((I_n)\), puis celle de la suite \((nI_n)\).

Soit \(g\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(g(x)=x+e^{-x}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=g(u_n)\), c'est-à-dire \(u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}\).

1) Étudie le sens de variation de \(g\) sur \([0\,;+\infty[\). Calcule \(u_1\), puis \(u_2\) : valeur exacte et valeur arrondie au centième.

2) Démontre que la suite \((u_n)\) est strictement croissante. En raisonnant par l'absurde, démontre qu'elle n'est pas majorée, puis donne sa limite.

3) En étudiant la fonction \(h\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(h(x)=x-\ln(1+x)\), démontre que, pour tout réel \(x\geq 0\), \(\ln(1+x)\leq x\). Déduis-en que, pour tout entier naturel \(n\), \(\ln(n+2)-\ln(n+1)\leq\dfrac{1}{n+1}\).

4) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\ln(n+1)\).

5) Retrouve la limite de \((u_n)\) à l'aide de la question 4. Détermine ensuite un entier \(N\) à partir duquel cette question garantit que \(u_n\geq 5\), et commente la rapidité avec laquelle la suite tend vers sa limite.