Terminale D · Leçon 10
Statistiques à deux variables
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Tableau statistique à double entrée
- Tableaux de fréquences marginales
- Nuages de points
- Point moyen
- Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés
- Droite de régression
- Coefficient de corrélation linéaire
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Série double : nuage de points et point moyen
Une série statistique double (ou bivariée) est un ensemble de \(n\) couples \((x_i,\,y_i)\) où \(x_i\) est la variable explicative (indépendante) et \(y_i\) la variable à expliquer (dépendante), \(i\) variant de 1 à \(n\).
| Obs. 1 | Obs. 2 | Obs. 3 | … | Obs. \(n\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | … | \(x_n\) |
| \(y_i\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | … | \(y_n\) |
- Heures de révision \((x)\) et note à l'examen \((y)\)
- Température extérieure \((x)\) et consommation d'électricité \((y)\)
- Âge d'une voiture en années \((x)\) et son prix de revente \((y)\)
- Taille des élèves \((x)\) et leur poids \((y)\)
Le nuage de points est la représentation graphique de la série : chaque couple \((x_i;\,y_i)\) est un point dans un repère orthogonal. L'examen visuel du nuage est la première étape indispensable avant tout ajustement.
| Forme du nuage | Interprétation | Action |
|---|---|---|
| Points alignés en montant | Corrélation positive forte | Ajustement affine si \(r\approx 1\) |
| Points alignés en descendant | Corrélation négative forte | Ajustement affine si \(r\approx -1\) |
| Points éparpillés | Peu ou pas de corrélation | Ajustement affine inadapté |
| Points sur une courbe | Relation non linéaire | Changement de variable |
Figure 1 — Nuage de points interactif et droite de régression
Déplacer les points bleus · Double-clic pour ajouter (max 12)
Nuage de points interactif. Déplacer les points bleus à la souris. Double-clic sur le fond pour ajouter un point. Mise à jour automatique de \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), Cov\((X,Y)\), \(r\) et de la droite de régression.
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) est le centre de gravité du nuage, où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes arithmétiques des deux séries.
\[G\!\left(\bar{x},\;\bar{y}\right) \qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i\]
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) appartient toujours à la droite de régression de \(y\) en \(x\). Cette propriété sert à vérifier l'équation obtenue.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
\[\bar{x}=\frac{15}{5}=3 \qquad \bar{y}=\frac{26}{5}=5{,}2 \qquad \Rightarrow\quad G(3\,;\,5{,}2)\]
Ajustement par les moindres carrés et prévisions
La droite de régression de \(y\) en \(x\), notée \(y=ax+b\), minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
\[a=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}\]
où \(V(X)=\sigma_X^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2\). Formule alternative : \(a=r\cdot\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\).
- Calculer \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
- Calculer \(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\).
- Calculer \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2\).
- Calculer \(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\).
- Calculer \(b=\bar{y}-a\bar{x}\).
- Écrire \(y=ax+b\) et vérifier que \(G(\bar{x};\bar{y})\) appartient à la droite.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
| \(x_i^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | 93 |
\[\bar{x}=3 \quad \bar{y}=5{,}2 \quad \overline{xy}=18{,}6 \quad \text{Cov}=3 \quad \overline{x^2}=11 \quad V(X)=2\]
\[a=\frac{3}{2}=1{,}5 \qquad b=5{,}2-1{,}5\times3=0{,}7\]
\[\boxed{y=1{,}5x+0{,}7}\]
Vérification : \(y(\bar{x})=1{,}5\times3+0{,}7=5{,}2=\bar{y}\) — le point \(G(3;\,5{,}2)\) appartient bien à la droite.
Figure 2 — Droite de régression et résidus (moindres carrés)
Déplacer les points bleus
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus (SCR). Activer les carrés des résidus pour voir cette propriété visuellement. Déplacer les points pour observer la mise à jour en temps réel.
Interpolation : estimer \(y\) pour \(x\) à l'intérieur de \([x_{\min};\,x_{\max}]\) — plus fiable.
Extrapolation : estimer \(y\) pour \(x\) en dehors de l'intervalle — moins fiable, à mentionner explicitement au Bac.
Interpolation — \(x=2{,}5\) dans \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times2{,}5+0{,}7=4{,}45\]
Extrapolation — \(x=10\) hors de \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times10+0{,}7=15{,}7 \quad \text{(à prendre avec prudence)}\]
- La relation linéaire peut ne pas se prolonger au-delà des données observées.
- Plus on s'éloigne des données, plus l'erreur potentielle est grande.
- Au Bac : toujours mentionner qu'il s'agit d'une extrapolation et signaler la prudence requise.
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
La covariance mesure la façon dont \(X\) et \(Y\) varient ensemble.
\[\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\]
Formule de calcul pratique :
\[\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y} \qquad \text{où}\quad\overline{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\]
Interprétation : Cov > 0 → même sens · Cov < 0 → sens inverse · Cov ≈ 0 → pas de liaison linéaire.
Version normalisée de la covariance, indépendante des unités.
\[r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\times\sigma_Y} \qquad -1\leq r\leq 1\]
où \(\sigma_X=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}\) et \(\sigma_Y=\sqrt{\overline{y^2}-\bar{y}^2}\).
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation | Ajustement affine |
|---|---|---|
| \(0{,}9 < |r|\leq 1\) | Très forte corrélation | Excellent |
| \(0{,}7 < |r|\leq 0{,}9\) | Forte corrélation | Bon |
| \(0{,}5 < |r|\leq 0{,}7\) | Corrélation moyenne | Acceptable avec prudence |
| \(|r|\leq 0{,}5\) | Faible corrélation | Inadapté |
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\overline{xy}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | \(\frac{93}{5}=18{,}6\) |
\[\text{Cov}(X,Y)=18{,}6-3\times5{,}2=3 \qquad \text{Cov}>0 \Rightarrow \text{liaison positive}\]
Une forte corrélation indique une association statistique, pas une relation de cause à effet. Une variable cachée peut expliquer les deux variables simultanément.
- Ventes de glaces et noyades — corrélées par la chaleur, pas de causalité.
- Nombre de pompiers et gravité des dégâts — corrélés par la taille de l'incendie.
Résumé
\(G(\bar{x},\bar{y})\) — appartient toujours à la droite de régression.
\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}\), \(\bar{y}=\dfrac{\sum y_i}{n}\)
\(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\)
Signe → direction de la liaison.
\(r=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}\), \(-1\leq r\leq 1\)
\(|r|\approx 1\) → ajustement affine justifié.
\(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\), \(b=\bar{y}-a\bar{x}\)
Passe toujours par \(G(\bar{x},\bar{y})\).
\(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=\sigma_X^2\)
Toujours positive ou nulle.
Exponentiel \(y=ae^{bx}\) → \(Y=\ln y\)
Logarithmique \(y=a\ln x+b\) → \(X=\ln x\)
Puissance \(y=ax^b\) → \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\)
Sujet type Bac
On étudie l'évolution du chiffre d'affaires \(y\) (en millions de FCFA) d'une entreprise en fonction de l'année \(x\) (avec \(x=1\) pour 2018).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 12 | 15 | 17 | 21 | 24 | 28 |
1. Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\text{Cov}(X,Y)\), \(V(X)\) et le coefficient de corrélation \(r\).
2. Déterminer l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). Vérifier que \(G\) appartient à la droite.
3. Estimer le chiffre d'affaires prévu pour 2025. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Éléments de réponse : \(\bar{x}=3{,}5\), \(\bar{y}=19{,}5\), \(\overline{xy}=74{,}5\), \(\text{Cov}=74{,}5-3{,}5\times19{,}5=6{,}25\), \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=15{,}17-12{,}25=2{,}92\), \(a\approx2{,}14\), \(b\approx12{,}01\). Droite : \(y\approx2{,}14x+12{,}01\). Pour 2025, \(x=8\) : \(y\approx29{,}1\) — extrapolation (hors de \([1;\,6]\)).