Terminale D · Leçon 7
Calcul intégral
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- la définition de l’intégrale d’une fonction continue
- la définition de la valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle
- signe de l’intégrale
- relation de Chasles
- inégalité et intégrale
- inégalité de la moyenne (les 2 formes)
- la technique de l’intégration par parties
- la technique du changement de variable affine
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
Valeur moyenne, intégrale et inégalités
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.
\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]
\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]
Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\).
Intégration par parties
\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]
Arctan
Log ln(x)
Polynôme
Expo eˣ
Sin / Cos
Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP
L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.
Primitives de fonctions composées (forme u′·g(u))
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Résumé
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
Sujet type Bac
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².