Terminale D · Leçon 4
Primitives
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- la définition d’une primitive d’une fonction continue
- les primitives des fonctions de référence
- u′ + v′ ; λu′ (λ ∈ ℝ)
- v′ × u′o v ;
- u′cosu ; u′sinu ;
- u′/ur , r ∈ ℚ\{1} ;
- u′ × um ,m ∈ ℚ\{−1}
- où u et v sont des fonctions dérivables
- l’ensemble des primitives d’une fonction continue
- les primitives d’une fonction en utilisant les primitives des fonctions de référence
- la primitive d’une fonction qui prend une valeur donnée en un point donné
- Justifier qu’une fonction est une primitive d’une fonction donnée
- Traiter une situation faisant appel aux primitives de fonctions
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Primitives : définition, primitives usuelles
Définition — Primitive
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
Tableau des primitives fondamentales — à connaître par cœur
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
Ne pas oublier \(\frac{1}{a}\) pour \(e^{ax+b}\)
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
Primitives de fonctions composées — reconnaître \(u'\cdot g(u)\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
Exemples
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Vérification systématique
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.