Terminale D · Leçon 3
Dérivabilité et étude de fonctions
Ce que dit le programme officiel (33 points)
- la définition d’une fonction dérivable à gauche (respectivement à droite) en un point
- la définition des dérivées successives d’une fonction
- les nouvelles notations des dérivées successives 𝑑𝑓/𝑑𝑥 ; 𝑑²𝑓/𝑑𝑥² ;…; 𝑑ⁿ𝑓/𝑑𝑥ⁿ (n ∈ℕ*)
- les propriétés relatives à la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle
- la propriété relative à la dérivée d’une fonction composée
- les propriétés relatives à l’inégalité des accroissements finis (les 2 formes)
- un nombre dérivé à gauche (respectivement à droite) d’une fonction
- les dérivées successives d’une fonction
- graphiquement un point d’inflexion
- le signe d’une fonction en utilisant ses variations
- le sens de variation d’une bijection réciproque d’une fonction 𝑓 sur un intervalle 𝐽 connaissant le sens de variation de f sur un intervalle 𝐼
- un point d’inflexion d’une courbe représentative d’une fonction
- des dérivées successives d’une fonction
- la dérivabilité d’une fonction définie par intervalles en un point de raccordement
- le nombre dérivé en un point d’une fonction composée
- les dérivées des fonctions de la forme : 𝑥 ⟼ √𝑥ⁿ (𝑛 ∈ ℕ*; 𝑥 ∈ ℝ+*)
- 𝑥 ⟼ 𝑥ʳ (𝑟 ∈ ℚ ; 𝑥 ∈ ℝ+*)
- 𝑥 ⟼ (𝑢(𝑥))ⁿ (𝑛 ∈ ℕ*)
- 𝑥 ⟼ √𝑢(𝑥)
- graphiquement la bijection réciproque d’une bijection dans un repère orthonormé
- une demi-tangente
- graphiquement des fonctions du type : 𝑥 ⟼ √𝑥ⁿ (𝑛 ∈ ℕ*; 𝑥 ∈ ℝ+*)
- 𝑥 ⟼ 𝑥ʳ(𝑟 ∈ ℚ ; 𝑥 ∈ ℝ+*)
- graphiquement une fonction du type : 𝑥 ⟼ cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
- 𝑥 ⟼ sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
- 𝑥 ⟼ tan(𝑎𝑥 + 𝑏)
- 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥+𝑏/𝑐𝑥²+𝑑𝑥+𝑒
- 𝑥 ⟼ √𝑎𝑥 + 𝑏
- 𝑥 ⟼ √𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
- qu’une fonction 𝑓 est une bijection d’un intervalle 𝐼 sur un intervalle 𝐽 dans le cas où 𝑓 est continue et strictement monotone sur 𝐼.
- l’existence d’une unique solution de l’équation 𝑓 (𝑥) = 𝑚 (𝑚 réel) sur un intervalle 𝐼, 𝑓 étant continue et strictement monotone sur 𝐼
- l’existence d’une unique solution de l’équation 𝑓 (𝑥) = 0 sur un intervalle ouvert ]𝑎 ; 𝑏[, 𝑓 étant continue et strictement monotone sur [𝑎 ; 𝑏]
- une situation faisant appel à la dérivabilité et à la représentation graphique des fonctions
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Dérivabilité à gauche et à droite, points anguleux
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie en \(a\) :
\[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]Géométriquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\). Cette tangente a pour équation :
\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]Si la limite est \(\pm\infty\), la courbe admet une tangente verticale en \(a\), mais \(f\) n'y est pas dérivable.
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]On définit de même la dérivée à gauche :
\[ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) existent, sont finies, et sont égales. Leur valeur commune est \(f'(a)\).
Si elles sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux en \(a\) : deux demi-tangentes distinctes, de pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\).
En pratique, les dérivées latérales servent surtout pour les fonctions définies par morceaux : chaque morceau est dérivable sur son intervalle, et la question se pose uniquement au point de raccord. Si les deux dérivées latérales coïncident, la courbe est « lisse » ; sinon, elle « plie » — c'est le point anguleux.
Soit \(f(x) = |x|\).
- À gauche : \(f'_g(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1\).
- À droite : \(f'_d(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = +1\).
Les deux limites sont finies mais \(-1 \neq +1\) : \(f\) n'est pas dérivable en 0. Point anguleux avec demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\). Rappel : \(f\) est bien continue en 0.
Sur \(]-1\,;1[\) : \(f(x) = 1 - x^2\), donc \(f'_g(1) = -2\times 1 = -2\).
Sur \(]1\,;+\infty[\) : \(f(x) = x^2 - 1\), donc \(f'_d(1) = 2\times 1 = 2\).
Comme \(-2 \neq 2\) : point anguleux en \(x=1\). Les demi-tangentes ont des pentes opposées — forme en « V ».
Soit \(f(x) = \sqrt[3]{x}\). En \(a = 0\) :
\[\lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-2/3} = +\infty.\]La limite est infinie : \(f\) n'est pas dérivable en 0, mais la courbe admet une tangente verticale (l'axe des ordonnées). Ce cas est distinct du point anguleux.
- Point anguleux : dérivées latérales finies et inégales. La courbe « plie » brusquement.
- Tangente verticale : une dérivée latérale (ou les deux) est infinie. La courbe « monte à pic ».
Dans les deux cas, \(f\) est continue mais non dérivable.
Figure interactive — Point anguleux et demi-tangentes
demi-tangente gauche
demi-tangente droite
Choisir un exemple via le sélecteur
Les demi-tangentes matérialisent les pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). Quand elles diffèrent, la courbe présente un pli visible au point de raccord.
- Vérifier la continuité en \(a\) — condition préalable nécessaire.
- Calculer \(f'_g(a)\) en dérivant l'expression du morceau gauche, évaluée en \(a\).
- Calculer \(f'_d(a)\) de même avec le morceau droit.
- Comparer : égales → dérivable, valeur commune \(= f'(a)\) ; inégales → point anguleux.
Si \(f\) est discontinue en \(a\), inutile de calculer les dérivées latérales — la dérivabilité est déjà exclue.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \le 1, \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-}(x^2+1)=2\), \(\lim_{1^+}(3x-1)=2\), \(f(1)=2\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(f'_g(1) = 2\) et \(f'_d(1) = 3\). Comme \(2 \neq 3\) : point anguleux en \(x=1\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-} x^2 = 1 = \lim_{1^+}(2x-1)\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(g'_g(1) = 2\) et \(g'_d(1) = 2\). Égales : \(g\) est dérivable en 1 et \(g'(1) = 2\). Courbe lisse au raccord.
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
- Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)
\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).
\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.
Lien entre continuité et dérivabilité
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). En écrivant :
\[ f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a) \;\xrightarrow[x\to a]{}\; f'(a) \cdot 0 = 0, \]on conclut que \(f(x) \to f(a)\).
Une fonction continue en \(a\) n'est pas nécessairement dérivable en \(a\). L'exemple canonique est \(f(x) = |x|\) en \(x = 0\) :
- \(f\) est continue en 0 : \(|x| \to 0 = f(0)\).
- Le taux d'accroissement \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut \(+1\) si \(h>0\) et \(-1\) si \(h<0\). Les limites latérales diffèrent : \(f\) n'est pas dérivable en 0.
- Géométriquement : point anguleux en 0, avec deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\).
Aucune des implications réciproques n'est vraie en général.
- Vérifier d'abord que \(f\) est continue en \(a\). Sans continuité, pas de dérivabilité.
- Calculer la dérivée à gauche \(f'_g(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) et la dérivée à droite \(f'_d(a)\).
- Si \(f'_g(a) = f'_d(a)\) : \(f\) est dérivable en \(a\), la valeur commune est \(f'(a)\). Sinon : point anguleux.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité en 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-} x^2 = 1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(2x-1) = 1\), et \(f(1) = 1\). Continuité assurée.
Dérivabilité en 1 : \(f'_g(1) = 2\times 1 = 2\) et \(f'_d(1) = 2\). Les dérivées latérales coïncident : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1) = 2\).
Dérivée d'une fonction composée
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Rappel de PremièreOn rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Fonctions cosinus et sinus
Rappel de SecondeLes fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
Équations et inéquations avec radicaux
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Les courbes \(y=\sqrt{2x+3}\) et \(y=x\) ne se croisent qu'en \(x=3\) : \(x=-1\), trouvé après élévation au carré, est une solution parasite (la droite \(y=x\) y est négative, incompatible avec une racine carrée).
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Voir les offresThéorème de la bijection monotone
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que \(f(c) = k\).
En d'autres termes : une fonction continue sur un segment ne peut pas sauter par-dessus une valeur.
Le cas \(k = 0\) revient le plus souvent :
\[ f \text{ continue sur } [a\,;b],\quad f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in\, ]a\,;b[\; \text{ tel que } f(c) = 0. \]La condition \(f(a) \cdot f(b) < 0\) signifie que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes strictement opposés. C'est l'outil standard pour montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. La continuité préserve la connexité : on ne peut pas obtenir un ensemble disjoint en appliquant une fonction continue à un intervalle.
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
Le TVI garantit l'existence ; la stricte monotonie garantit l'unicité.
- Vérifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\).
- Vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) : signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est strictement entre eux.
- Conclure par le théorème de la bijection.
Le TVI affirme l'existence d'au moins un \(c\), mais pas son unicité. Sans hypothèse de monotonie, il peut y en avoir plusieurs. De plus, le TVI ne donne pas la valeur de \(c\). Pour l'approcher, on recourt à la dichotomie.
Montrons que \(x^{3} + x - 1 = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\).
- Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
- Monotonie : \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante.
- Valeurs aux bornes : \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).
Par le théorème de la bijection, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in\, ]0\,;\,1[\).
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y = k\)
solution \(\alpha\)
Déplacer le curseur pour faire varier la valeur de \(k\)
Lorsque \(k \in [f(0)\,;\,f(1)] = [-1\,;\,1]\), le TVI garantit l'existence d'au moins un point d'intersection. La stricte croissance de \(f\) assure l'unicité.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que :
\[ f(c) = k. \]Autrement dit, \(f\) prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f(a)\) et \(f(b)\) — sans « saut » possible, puisque la courbe est ininterrompue.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés (\(f(a)\cdot f(b) < 0\)), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\). C'est le TVI appliqué à \(k = 0\).
Soit \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f\) est polynomiale donc continue.
\(f(1) = 1-1-1 = -1 < 0\) et \(f(2) = 8-2-1 = 5 > 0\). Ces valeurs sont de signes opposés : par le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(c \in [1\,;2]\).
Soit \(g(x) = e^x - x\) sur \([0\,;2]\), continue. \(g(0) = 1\) et \(g(2) = e^2 - 2 \approx 5{,}39\). Pour \(k=3\), compris entre \(g(0)=1\) et \(g(2)\approx 5{,}39\) : par le TVI, il existe \(c \in [0\,;2]\) tel que \(g(c) = 3\), c'est-à-dire \(e^c - c = 3\).
Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, jamais son unicité ni sa valeur explicite. Sans hypothèse supplémentaire de monotonie (§I.4), rien n'exclut plusieurs solutions dans l'intervalle. Ne jamais écrire « donc \(c\) est la seule solution » sans avoir justifié la stricte monotonie.
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y=k\)
solution(s) \(c\)
Déplacer le curseur pour changer \(k\)
La courbe \(f(x)=x^3-x-1\) sur \([1\,;2]\) coupe la droite horizontale \(y=k\) en au moins un point dès que \(k\) est compris entre \(f(1)=-1\) et \(f(2)=5\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\).
La stricte monotonie ajoute l'unicité à l'existence déjà garantie par le TVI : la courbe ne peut recroiser la droite \(y=k\), puisqu'elle ne cesse jamais de croître (ou de décroître).
- Justifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (opérations sur fonctions continues, ou dérivable donc continue).
- Justifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) — le plus souvent via le signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est bien compris entre les deux (ou que \(f(a)\cdot f(b) < 0\) si \(k=0\)).
- Conclure : « \(f\) est continue et strictement [croissante/décroissante] sur \([a\,;b]\) ; d'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\). »
Reprenons \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f'(x) = 3x^2 - 1\), or pour \(x \ge 1\) : \(f'(x) \ge 2 > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\), continue (polynomiale), avec \(f(1)=-1 < 0 < 5=f(2)\).
D'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(c \in [1\,;2]\) — précisant ainsi le résultat d'existence obtenu au §I.3.
Une fois l'existence et l'unicité établies, on encadre \(c\) en évaluant \(f\) en des points intermédiaires, en resserrant l'intervalle à chaque étape (on garde le sous-intervalle où \(f\) change de signe) :
- Évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle courant.
- Comparer son signe à celui de \(f(a)\) : si identique, remplacer \(a\) par ce milieu ; sinon, remplacer \(b\).
- Répéter jusqu'à obtenir la précision demandée (l'amplitude de l'intervalle est divisée par 2 à chaque étape).
Pour \(f(x)=x^3-x-1\) : \(f(1{,}3) \approx -0{,}103 < 0\) et \(f(1{,}4) \approx 0{,}144 > 0\). Donc \(c \in ]1{,}3\,;1{,}4[\).
En affinant : \(f(1{,}32)\approx -0{,}02\) et \(f(1{,}33)\approx 0{,}0089\), donc \(c \in ]1{,}32\,;1{,}33[\) — encadrement à \(10^{-2}\) près de l'unique solution.
Avant toute dichotomie, un rapide tableau de valeurs (ou de variations) permet de repérer l'intervalle \([a\,;b]\) le plus petit possible où \(f\) change de signe : moins l'intervalle de départ est large, moins il faut d'étapes pour atteindre la précision demandée.
Figure interactive — Encadrement par dichotomie
intervalle courant
Chaque clic évalue \(f\) au milieu de l'intervalle courant et conserve le sous-intervalle où \(f\) change de signe, resserrant l'encadrement de la solution.
Théorème des valeurs intermédiaires
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Cela exige : (1) \(f\) définie en \(a\), (2) la limite existe, (3) limite = valeur.
Les fonctions usuelles (polynômes, \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin\), \(\cos\), racines) sont continues sur leur domaine de définition.
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\in[a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=k\).
Corollaire : Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).
Sans ces trois lignes, les points sont perdus même avec la bonne conclusion : (1) énoncer que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\), (2) calculer explicitement \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) constater les signes contraires et conclure.
Montrons que \(x^3-2x+1=0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).
Posons \(f(x)=x^3-2x+1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-2)=-8+4+1=-3<0\) et \(f(0)=1>0\) — signes contraires.
Par le TVI : il existe \(c\in\,]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c)=0\).
Figure interactive — TVI avec curseur k
Déplacez k entre −3 et 1 : la droite horizontale coupe la courbe, garantissant l'existence d'un c tel que f(c)=k (TVI). Hors de cet intervalle, le TVI ne s'applique pas sur [−2;0].
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Résumé
\(f\) continue en \(a\) ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\). Fonctions usuelles (polynômes, \(\sqrt{\ }\), \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\)) continues sur leur domaine. Dérivable \(\Rightarrow\) continue (pas la réciproque).
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues. Justifie la continuité sans revenir aux limites.
\(f\) continue sur \([a\,;b]\) : toute valeur \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte. Cas \(k=0\) : \(f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow\) au moins une racine.
\(f\) continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\) : \(f(x)=k\) a une unique solution. La monotonie ajoute l'unicité à l'existence du TVI.
Dichotomie / balayage : évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle, garder le sous-intervalle où \(f\) change de signe. L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape.
Dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a) = f'_d(a)\). Finies et inégales → point anguleux. Infinie → tangente verticale.
\(f'' > 0\) : convexe (U). \(f'' < 0\) : concave (∩). \(f''\) change de signe → inflexion.
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Ne jamais oublier \(u'\). Identifier \(u\) et \(u'\) au brouillon avant d'appliquer.
\(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\). Forme encadrement : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
Toute fonction continue admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante. Condition initiale → primitive unique.
Reconnaître \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), \(u'/\sqrt{u}\). Ajuster la constante multiplicative. Toujours vérifier en dérivant.
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Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;3]\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).
1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;3]\).
2. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2\,;3]\).
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-1}\).
4. Étudier la continuité en \(x=2\) de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=f(x)\) sur \([0\,;2]\) et \(g(x) = 2x\) sur \(]2\,;3]\).
Partie 1 — Variations.
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\). Sur \([0\,;3]\) : \(f'(x) < 0\) sur \(]0\,;2[\), \(f'(x) > 0\) sur \(]2\,;3[\), et \(f'(0)=f'(2)=0\).
\(f\) est donc décroissante sur \([0\,;2]\) puis croissante sur \([2\,;3]\), avec \(f(0)=4\), \(f(2)=8-12+4=0\), \(f(3)=27-27+4=4\).
Partie 2 — Existence et unicité sur \([2\,;3]\).
D'après la partie 1, \(f\) est continue (polynomiale) et strictement croissante sur \([2\,;3]\) (car \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;3[\)). On a \(f(2)=0\) et \(f(3)=4\).
Or on cherche \(f(x)=0\) : comme \(f(2)=0\) exactement, \(\alpha = 2\) est déjà une solution évidente sur \([2\,;3]\). Par stricte croissance sur cet intervalle, c'est l'unique solution : \(\boxed{\alpha = 2}\).
Partie 3 — Encadrement.
Puisque \(\alpha = 2\) exactement, l'encadrement à \(10^{-1}\) près est immédiat : \(\alpha \in [1{,}9\,;2{,}1]\) (tout encadrement centré en 2 de largeur \(0{,}2\) convient).
Partie 4 — Continuité de \(g\) en \(x=2\).
\(g(2) = f(2) = 0\) (morceau gauche, \(x \le 2\)).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} g(x) = f(2) = 0\) (continuité de \(f\), polynomiale).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} g(x) = 2\times 2 = 4\).
Comme \(4 \neq 0\), les limites à gauche et à droite diffèrent : \(g\) est discontinue en \(x=2\) (discontinuité de saut).
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0, \\ e^{-x} - 1 & \text{si } x > 0. \end{cases} \]1. Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 0\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x = 0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
4. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(F(0) = 2\).
5. Montrer que \(|f(x)| \le 2|x|\) pour tout \(x \in [-1\,;0]\) par l'inégalité des accroissements finis.
Partie 1 — Continuité en 0.
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(x^2+2x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(e^{-x}-1) = 0\).
Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 0.
Partie 2 — Dérivabilité en 0.
\(f'_g(0) = (2x+2)\big|_{x=0} = 2\) et \(f'_d(0) = (-e^{-x})\big|_{x=0} = -1\).
Comme \(2 \neq -1\) : \(f\) est non dérivable en 0. Point anguleux, demi-tangentes de pentes \(2\) et \(-1\).
Partie 3 — Dérivée sur chaque intervalle.
Sur \(]-\infty\,;0[\) : \(f'(x) = 2x + 2\). Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f'(x) = -e^{-x}\).
En \(x=0\), la dérivée n'est pas définie.
Partie 4 — Primitive sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(f(x) = e^{-x} - 1\). Primitivons terme à terme :
- \(e^{-x}\) : forme \(u'e^u\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) → primitive \(-e^{-x}\).
- \(-1\) → primitive \(-x\).
Condition \(F(0) = 2\) : \(-1 + C = 2\), donc \(C = 3\).
\[F(x) = -e^{-x} - x + 3.\]Vérification : \(F'(x) = e^{-x} - 1 = f(x)\).
Partie 5 — Inégalité des accroissements finis.
Sur \([-1\,;0]\) : \(f'(x) = 2x+2\). Pour \(x \in [-1\,;0]\) : \(0 \le f'(x) \le 2\), donc \(|f'(x)| \le 2\).
La forme majoration avec \(a=0\), \(b=x \in [-1\,;0]\) donne :
\[|f(x) - f(0)| \le 2|x - 0|, \quad \text{soit} \quad |f(x)| \le 2|x|,\]puisque \(f(0) = 0\).
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