Chargement…
ConnexionInscription

Terminale D · Leçon 1

Nombres complexes

Ce que dit le programme officiel (38 points)
  • la partie réelle ; la partie imaginaire d’un nombre complexe
  • la forme algébrique d’un nombre complexe
  • la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
  • la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
  • la définition du module d’un nombre complexe
  • la définition d’un argument d’un nombre complexe non nul
  • les propriétés relatives au module du produit et du quotient de deux nombres complexes
  • les propriétés relatives au module de l’inverse et de la puissance entière d’un nombre complexe
  • les propriétés relatives à un argument du produit et du quotient de deux nombres complexes
  • les propriétés relatives à un argument de l’inverse et de la puissance entière d’un nombre complexe
  • les propriétés relatives à la somme, au produit et au quotient de deux nombres complexes
  • la définition du conjugué d’un nombre complexe
  • les propriétés relatives au conjugué d’un nombre complexe
  • la propriété relative à l’égalité de deux nombres complexes
  • l’affixe d’un point ; d’un vecteur
  • le point image ; le vecteur image d’un nombre complexe
  • la définition d’une racine carrée d’un nombre complexe
  • la définition d’une racine n-ième d’un nombre complexe non nul
  • les racines n-ièmes de l’unité
  • la formule de Moivre
  • les formules d’Euler
  • les caractérisations complexes d’un cercle ; d’une droite ; d’une demi-droite
  • la forme la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
  • la forme la forme exponentielle d’un nombre complexe non nul
  • la partie réelle, la partie imaginaire d’un nombre complexe
  • le conjugué d’un nombre complexe
  • le module et un argument d’un nombre complexe non nul
  • des lieux géométriques à l’aide des nombres complexes
  • les racines carrées d’un nombre complexe
  • les racines n-ièmes d’un nombre complexe non nul
  • la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes
  • la puissance d’un nombre complexe
  • des puissances de cos x et sin x
  • une équation du second degré à coefficients complexes ainsi que des équations s’y ramenant
  • une équation se ramenant du second degré à coefficients complexes
  • les points images des racines n-ièmes d’un nombre complexe sur le cercle trigonométrique, connaissant l’une d’elles
  • les formules de Moivre et d’Euler pour transformer des produits en somme dans des expressions trigonométriques
  • une situation faisant appel aux nombres complexes

Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923

Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i

Motivation fondamentale

Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]
Cycle de période 4
\(i^1\)
\(i\)
→
\(i^2\)
\(-1\)
→
\(i^3\)
\(-i\)
→
\(i^4\)
\(1\)
→…
\[i^{4k}=1 \quad i^{4k+1}=i \quad i^{4k+2}=-1 \quad i^{4k+3}=-i\]
Exemples

a) \(i^{23}=-i\)   b) \(i^{100}=1\)   c) \(i^{-1}=-i\)

Définition
\[z = a + bi \qquad a,b\in\mathbb{R}\]
  • \(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle   \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
  • Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.
Égalité
\[z=z' \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}a=a'\\b=b'\end{cases}\]
Points de vigilance
  • \(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
  • \(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
  • Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.
Règles — \(z=a+bi\), \(z'=a'+b'i\)
\[z\pm z' = (a\pm a')+(b\pm b')i \qquad z\times z'=(aa'-bb')+(ab'+ba')i\]
Exemples

Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)

Argument et forme trigonométrique

Argument
\[\cos\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{a}{|z|} \qquad \sin\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{b}{|z|}\]
Propriétés
\[\arg(z\cdot z')=\arg z+\arg z'\pmod{2\pi} \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'\pmod{2\pi}\]\[\arg(z^n)=n\cdot\arg z\pmod{2\pi} \qquad \arg(\bar{z})=-\arg z\pmod{2\pi}\]
Exemple — \(z=-1+i\sqrt{3}\)

\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)

Erreur fréquente

\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.

Définition
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad r=|z|,\;\theta=\arg(z)\]
Forme 1
Algébrique
\(z=a+bi\)

Opérations +, −, égalité

Forme 2
Trigonométrique
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Lecture géométrique

Forme 3
Exponentielle
\(z=re^{i\theta}\)

Puissances, ×, ÷

Méthode en 3 étapes
  1. Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
  2. Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
  3. Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
4 cas — un par quadrant

1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)

2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)

3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)

4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)

Produit et quotient
\[z\cdot z'=rr'[\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')] \qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]\]

Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.

Point de vigilance

Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.

Forme exponentielle et formule d'Euler

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Valable pour tout réel \(\theta\)
Identité d’Euler
\[e^{i\pi}+1=0\]

Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).

Forme exponentielle
\[z = r\,e^{i\theta}\]
Propriétés
\[e^{i\theta}\cdot e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')} \quad (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\] \[\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} \quad |e^{i\theta}|=1 \qquad \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]
Exemples

\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\)   \(-i=e^{-i\pi/2}\)   \(-2=2e^{i\pi}\)

Module d'un nombre complexe

Module
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\]
Propriétés
\[|z\cdot z'|=|z|\cdot|z'| \quad\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \quad |z^n|=|z|^n \quad z\cdot\bar{z}=|z|^2\]

Conjugué d'un nombre complexe

Conjugué
\[\bar{z}=a-bi\]

Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.

Propriétés
PropriétéFormule
Double conjugaison\(\overline{\bar{z}}=z\)
Somme\(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\)
Produit\(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\)
\(z\cdot\bar{z}\)\(a^2+b^2=|z|^2\geq 0\)
Division par le conjugué
\[\frac{z}{z'}=\frac{z\cdot\bar{z'}}{|z'|^2}\]
Exemples
\[\frac{3+2i}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \qquad \frac{2-i}{3+2i}=\frac{4}{13}-\frac{7}{13}i\]

Plan complexe : affixe, image, distances

Plan complexe

À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).

Distances et vecteurs
ObjetFormule
Affixe de \(\overrightarrow{AB}\)\(z_B-z_A\)
Distance \(AB\)\(|z_B-z_A|\)
Milieu \(I\)\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)
Centre de gravité \(G\)\(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\)
Figure interactive — Plan complexe : affixe, module, conjugué, distance
Point A
Point B
Milieu I
Conjugué À
z_A = 2+3i z_B = 5+i |z_A| = 3.606 |z_B−z_A| = 3.606 Milieu I = 3.5+2i arg(z_A) = 0.983 rad

Équations du second degré dans ℂ, racines carrées d'un complexe

Discriminant et racines complexes
CasRacines
\(\Delta>0\)Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\Delta=0\)Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\)
\(\Delta<0\)Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\)
Exemple 1 — \(z^2-2z+5=0\)

\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)

Racines n-ièmes de l’unité
\[z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n} \qquad k=0,\ldots,n-1\]

Propriété : \(1+j+j^2=0\).

Figure interactive — Racines n-ièmes de l’unité
n = 3 racines Angle : 120.00° Polygone : triangle équilatéral Somme des racines = 0
n = 3
Les 5 erreurs les plus fréquentes
  • \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
  • Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
  • Déterminer l’argument avec cos seul
  • Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
  • Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)
Fin Chapitre V — Nombres Complexes, Partie I · Terminale D · MathsTD

Formule de Moivre et linéarisation

Formule de De Moivre
\[\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^n = r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) \;\Longleftrightarrow\; (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}\]
Exemples de puissances

1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)

2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)

Via Euler — développer puis regrouper
\[\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2} \qquad \sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin 3\theta}{4}\]
\(\cos 3\theta\) et \(\sin 3\theta\) via De Moivre

\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)   \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

Figure interactive — Cercle trigonométrique, trois formes et puissances
Point M = re^{iθ} (déplaçable)
Puissances M², M³…
Cercle de rayon r
Projection cos/sin
r = 1.41 θ = π/4 Forme alg. z = 1+1i Forme trigo. z = √2(cos π/4 + i sin π/4) Forme expo. z = √2 · e^{iπ/4}
r = 1.41 θ = 0.785 rad

Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité

Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et géométrie
Condition géométriqueCondition complexe
A, B, C alignés\(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\)
\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)quotient imaginaire pur
ABC isocèle rect. en Aquotient \(=\pm i\)
ABC équilatéralmodule 1, arg \(=\pm\pi/3\)
ABCD parallélogramme\(z_A+z_C=z_B+z_D\)
Angle \(\widehat{BAC}\)\(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\)
Exemple 1 — Alignement
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+4i}{1+2i}=2\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;\text{alignés}\]
Exemple 2 — Triangle équilatéral
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\pi/3}\;\Rightarrow\;\text{triangle équilatéral}\]

Linéarisation de cos² et sin², angles multiples

Rappel de Première
Méthode — Obtenir la duplication à partir de l'addition

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres
Méthode — Linéariser \(\cos^2a\) et \(\sin^2a\)

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres
Exemples gradués

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige (Partie I)
Forme algébrique

\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)

Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)

Conjugué

\(\bar{z}=a-bi\)

\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)

Module

\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(|zz'|=|z||z'|\)

Argument

\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)

Défini modulo \(2\pi\)

Plan complexe

Distance : \(|z_B-z_A|\)

Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)

Équations dans ℂ

\(\Delta<0\) : racines conjuguées

Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)

Résumé — Ce que le Bac exige (Partie II)
Forme trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Modules ×, arguments +

Formule d’Euler

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

\(e^{i\pi}+1=0\)

De Moivre

\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)

Linéarisation via formules Euler

Géométrie

Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)

Perp. : quotient im. pur

Transformations

Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)

Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

3 Formes

Algébrique · Trigo. · Expo.

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète en 4 parties

Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).

Partie A — Forme trigonométrique
\[z_B-z_A=2+i \;;\quad r=\sqrt{5} \;;\quad z_B-z_A=\sqrt{5}\!\left(\cos\arctan\tfrac{1}{2}+i\sin\arctan\tfrac{1}{2}\right)\]
Partie B — Nature du triangle
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC}=45°,\;AC=\sqrt{2}\cdot AB\]
Partie C — Image par rotation
\[z_{B'}-z_A=i(2+i)=-1+2i \;\Rightarrow\; z_{B'}=3i \quad \text{Vérif : }|z_{B'}-z_A|=\sqrt{5}\checkmark\]
Partie D — Équation complexe

\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)

\[z_1=1+2i \quad;\quad z_2=1\]
Exercices corrigés17 corrigésQuiz de la leçon25 questions
Mode hors-ligne — données en cache