Terminale D · Leçon 6
Fonctions exponentielles et fonctions puissances
Ce que dit le programme officiel (23 points)
- la définition de la fonction exponentielle népérienne
- la définition d’une fonction exponentielle de base 𝑎 ,(𝑎 ∈ ℝ+∗ \ {1})
- la définition d’une fonction puissance d’exposant réel non nul
- les propriétés algébriques de la fonction exponentielle népérienne
- la dérivée de la fonction exponentielle népérienne
- le sens de variation de la fonction exponentielle népérienne
- la représentation graphique de la fonction exponentielle népérienne
- les propriétés algébriques de la fonction exponentielle de base 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+∗ \ {1})
- les propriétés algébriques de la fonction puissance d’exposant réel non nul
- l’allure de la courbe représentative de la fonction : 𝑥 ⟼ 𝑥𝛼 ; 𝛼 ≠ 0.
- l’allure de la courbe représentative de la fonction :𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 ; 𝑎 ≠ 1 suivant que 0 < 𝑎 < 1 ou 𝑎 > 1.
- les limites de référence de la fonction exponentielle népérienne
- les fonctions dérivées des fonctions du type : exp ∘ 𝑢 et 𝑢𝛼 ,𝛼 ∈ ℝ∗
- les primitives des fonctions du type: 𝑢′𝑒𝑢 et 𝑢′𝑢𝑚 , 𝑚 ∈ ℝ\{−1}
- les propriétés relatives à la croissance comparée des fonctions logarithme népérien, exponentielles et puissances
- noter la fonction exponentielle népérienne
- noter une fonction exponentielle de base 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+∗ \ {1})
- noter une fonction puissance d’exposant réel non nul
- résoudre des équations ou inéquations faisant intervenir des fonctions exponentielles
- déterminer les dérivées des fonctions du type : exp ∘ 𝑢 et 𝑢𝛼 (𝛼 ∈ ℝ∗)
- représenter graphiquement les fonctions du type : exp ∘ 𝑢 et 𝑢𝛼 (𝛼 ∈ ℝ∗)
- représenter graphiquement une fonction faisant intervenir la fonction exponentielle népérienne
- représenter graphiquement une fonction faisant intervenir une fonction puissance d’exposant réel non nul
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]
\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]
\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | 1 | exactement 1 | \(\ln(1)=0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2)=2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2}=\sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | 5 | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.
Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln
La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | Somme → produit |
| Quotient | \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | Différence → quotient |
| Puissance | \(e^{na}=(e^a)^n\) | Produit → puissance |
| Inverse | \(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\) | Inverse → opposé |
| Racine | \(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\) | Racine → exposant ÷ 2 |
| Neutre | \(e^0=1\) | Exposant nul → valeur 1 |
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)
\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)
a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)
e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)
f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)
(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.
Puissances d'exposant réel et racines n-ièmes
Les puissances entières sont familières. La nouveauté est d'étendre la notion à un exposant réel quelconque — ce qui permet d'écrire \(2^{\sqrt{3}}\) ou \(x^{1/3}\) de façon cohérente.
Pour \(a > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
\[a^\alpha = e^{\alpha \ln a}.\]Cette définition est cohérente avec les puissances entières et impose \(a > 0\).
Et : \(\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(a > 0\).
La fonction \(x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}.\]Si \(\alpha > 0\) : strictement croissante, \(\lim_{+\infty} x^\alpha = +\infty\), \(\lim_{0^+} x^\alpha = 0\). Si \(\alpha < 0\) : décroissante, limites échangées.
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x > 0\) :
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}.\]C'est l'unique réel strictement positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\).
- \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\).
- \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\).
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} = 9^{1/2} = 3\).
- Dérivée de \(f(x) = x^{5/3}\) : \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\).
- \(x^\alpha\) vs \(a^x\) : dans \(x^\alpha\), l'exposant est fixe, la base varie — dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\). Dans \(a^x = e^{x\ln a}\), la base est fixe, l'exposant varie — dérivée \(\ln(a) \cdot a^x\). Ce sont deux natures très différentes.
- Domaine : \(x^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) n'est définie (au sens réel) que pour \(x > 0\).
Figure interactive — Familles de fonctions puissances \(x^\alpha\)
tangente en \(x=1\)
Déplacer le curseur pour faire varier l'exposant \(\alpha\)
Toutes les courbes \(x^\alpha\) passent par \((1\,;\,1)\). La pente de la tangente en ce point vaut \(\alpha\). Quand \(\alpha > 0\) la fonction est croissante ; quand \(\alpha < 0\) elle est décroissante. Le cas \(\alpha = 1\) donne la droite \(y = x\).
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
Dérivée d'une fonction composée
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Primitives de fonctions composées (forme u′·g(u))
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Croissances comparées
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad\forall n>0\]
\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).
\[\lim_{x\to 0^+}x^n\ln(x)=0\qquad\forall n>0\]
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\)
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln(x)\) vs \(\sqrt{x}\) vs \(x\)
En zoomant vers +∞, ln(x) semble "s'aplatir" par rapport à √x et x. Activez les rapports pour voir concrètement qu'ils tendent vers 0.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Rappel de PremièreOn rappelle les opérations usuelles sur les fonctions numériques : pour \(f\) et \(g\) définies sur un même ensemble, on note \(f+g\), \(\lambda f\) (\(\lambda\) réel), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\) et la composée \(g\circ f\) (\(g\circ f(x)=g(f(x))\)). On dit que \(f\leqslant g\) si \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) du domaine considéré.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), alors \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) :
| \(u\) | \(v\) | \(v\circ u\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
Résumé
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Primitive de \(1/x\) sur \(]0;+\infty[\), nulle en 1. Dérivée \(1/x\), strictement croissante. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\). \((e^x)' = e^x > 0\), strictement croissante. \(e^{a+b}=e^ae^b\). Jamais nulle.
\(a^\alpha = e^{\alpha\ln a}\) pour \(a>0\). \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\). \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
\(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) à \(+\infty\). \(x^\alpha\ln x \to 0\) en \(0^+\) (\(\alpha>0\)). \((e^x-1)/x \to 1\) en 0.
Vérifier l'ensemble de validité avant tout. \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b\). \(e^a = e^b \Leftrightarrow a=b\).
Limites aux bornes → branches infinies. Signe de \(f'\) → variations, min/max. TVI + monotonie → solutions et balayage.
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).
1. Étudier les limites aux bornes. 2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations. 3. Montrer que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\). 4. L'équation \(f(x) = 2\) admet-elle des solutions ? Combien ? Les encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Limites aux bornes.
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\), car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) (croissance comparée, \(\alpha=1\)).
Partie 2 — Variations.
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\) :
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f(1) = 1 - 0 = 1\) : minimum global.
Partie 3 — Inégalité \(\ln x < x\).
D'après le tableau, \(f(x) \ge f(1) = 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\).
Partie 4 — Solutions de \(f(x) = 2\).
Comme \(f(1) = 1 < 2\) et \(f \to +\infty\) aux deux extrémités, la droite \(y=2\) coupe la courbe en deux points — un sur chaque branche monotone. L'équation a exactement deux solutions.
| \(x\) | \(f(x) = x - \ln x\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 0,1 | \(\approx 2{,}403\) | \(> 2\) |
| 0,2 | \(\approx 1{,}809\) | \(< 2\) |
| 0,15 | \(\approx 2{,}047\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_1 \in\, ]0{,}15\,;\,0{,}20[\).
| \(x\) | \(f(x)\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 3,1 | \(\approx 1{,}969\) | \(< 2\) |
| 3,2 | \(\approx 2{,}037\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_2 \in\, ]3{,}1\,;\,3{,}2[\).