Terminale D · Leçon 12
Nombres complexes et géométrie du plan
Ce que dit le programme officiel (19 points)
- Définition d’une similitude directe
- Les éléments caractéristiques d’une similitude directe
- d’une translation
- d’une symétrie centrale
- de la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses
- de la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées
- d’une homothétie de centre 𝛺 et de rapport 𝜆
- d’une rotation de centre 𝛺 et d’angle 𝜃
- d’une similitude directe
- des points alignés
- des triangles particuliers
- des points cocycliques
- de deux droites parallèles
- de deux droites perpendiculaires
- L’écriture complexe d’une transformation
- L’image d’un point par une similitude directe
- Des lieux géométriques à l’aide des nombres complexes
- Démontrer une propriété géométrique (points alignés, points cocycliques, angle droit, ...) en utilisant les caractérisations complexes
- Traiter une situation faisant appel aux applications géométriques des nombres complexes
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Rappel de SecondeUne translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Homothétie : définition et propriétés
Rappel de SecondeQuand on agrandit une photo, quand on projette une diapositive sur un mur ou quand on dessine un plan à l'échelle, la figure change de taille mais garde exactement sa forme : les angles ne bougent pas, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. L'homothétie est la transformation du plan qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe, le centre. C'est aussi un outil de démonstration : reconnaître une homothétie dans une figure donne d'un seul coup des droites parallèles, des points alignés et des rapports de longueurs.
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (avec \(k\ne 0\)), et \(M\) un point distinct de \(O\), d'image \(M'=h(M)\). L'égalité \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\) dit où se trouve \(M'\) :
- \(M'\) est toujours sur la droite \((OM)\), à la distance \(OM'=|k|\times OM\) du centre ;
- si \(k\gt 0\), \(M\) et \(M'\) sont du même côté de \(O\) ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(O\) ;
- si \(|k|\gt 1\), l'homothétie est un agrandissement : \(M'\) est plus loin de \(O\) que \(M\) ; si \(|k|\lt 1\), c'est une réduction : \(M'\) est plus près de \(O\).
Par exemple, pour \(k=\dfrac{1}{2}\), \(M'\) est le milieu de \([OM]\) ; pour \(k=-2\), \(O\) est entre \(M\) et \(M'\) et \(OM'=2\,OM\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(h(O)=O\). Si \(k\ne 1\), c'est le seul point invariant. En effet, si \(M'=M\), alors \(\overrightarrow{OM}=k\,\overrightarrow{OM}\), donc \((1-k)\,\overrightarrow{OM}=\vec{0}\), ce qui impose \(M=O\).
- Alignement. Un point, son image et le centre sont toujours alignés, car les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{OM'}\) sont colinéaires.
- Homothétie réciproque. Si \(M'=h(M)\), alors \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{OM'}\) : on revient de \(M'\) à \(M\) par l'homothétie de même centre \(O\) et de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Conséquence pratique : si deux points \(A\) et \(B\) ont pour images \(A'\) et \(B'\), le centre est à la fois sur \((AA')\) et sur \((BB')\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Si \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\), alors
\[\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}.\]Démonstration. Avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=-k\,\overrightarrow{OA}+k\,\overrightarrow{OB}=k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=k\,\overrightarrow{AB}\).
Ce que l'on en tire.
- \(A'B'=|k|\times AB\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(|k|\).
- Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Si \(k\gt 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\) ont le même sens ; si \(k\lt 0\), ils sont de sens contraires.
Caractérisation. Réciproquement, si une transformation vérifie \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) pour tous les points \(A\) et \(B\), avec \(k\) différent de 0 et de 1, alors c'est une homothétie de rapport \(k\).
Par une homothétie de rapport \(k\) :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(|k|\times AB\) ; l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\) ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite qui passe par le centre est sa propre image ;
- l'image d'une demi-droite d'origine \(A\) est une demi-droite d'origine \(A'\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=h(I)\) et de rayon \(|k|\times r\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle qui a les mêmes angles : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires, deux droites parallèles ont des images parallèles.
Aires. Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), donc les aires sont multipliées par \(k^2\). Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), l'image a pour côtés \(|k|a\) et \(|k|b\), donc pour aire \(k^2\times ab\).
Image d'un point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Trace la droite \((OM)\).
- Regarde le signe de \(k\) : pour \(k\gt 0\), l'image est sur la demi-droite \([OM)\) ; pour \(k\lt 0\), elle est sur la demi-droite opposée.
- Reporte la distance \(OM'=|k|\times OM\) à partir de \(O\).
Image d'une figure. On ne construit ainsi qu'un seul point. Pour les suivants, on utilise le parallélisme : si \(A'\) est connu, l'image \(B'\) de \(B\) est le point d'intersection de la droite \((OB)\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(A'\). C'est plus rapide et plus précis que de mesurer à chaque fois.
Image d'un cercle. Il suffit de construire l'image \(I'\) du centre, puis de tracer le cercle de centre \(I'\) et de rayon \(|k|\times r\).
On connaît deux points \(A\), \(B\) et leurs images \(A'\), \(B'\).
- Le rapport. Écris \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\). La valeur absolue de \(k\) est \(\dfrac{A'B'}{AB}\) ; son signe est positif si les deux vecteurs ont le même sens, négatif sinon.
- Le centre. Sur une figure, c'est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\). Par le calcul, on traduit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\) en coordonnées et on résout deux équations du premier degré.
- La vérification. Contrôle que l'on a bien aussi \(\overrightarrow{OB'}=k\,\overrightarrow{OB}\).
Pour démontrer avec une homothétie, la rédaction suit toujours le même plan : nommer le centre et le rapport, justifier l'image de chaque point utilisé, puis citer la propriété qui donne la conclusion (parallélisme, longueurs multipliées par \(|k|\), alignement avec le centre).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=4\) cm et \(AC=3\) cm. On note \(A'B'C'\) son image par une homothétie de rapport 3. Calcule les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\).
Solution. D'après le théorème de Pythagore, \(BC^2=4^2+3^2=25\), donc \(BC=5\) cm. Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : \(A'B'=12\) cm, \(A'C'=9\) cm et \(B'C'=15\) cm.
Les droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AC)\) ont des images perpendiculaires : le triangle \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\). On le contrôle : \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\).
Le périmètre passe de \(4+3+5=12\) cm à \(12+9+15=36\) cm : il est multiplié par 3, comme toute longueur. L'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac{4\times 3}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) vaut \(\dfrac{12\times 9}{2}=54\) cm², soit \(9\times 6\) : elle est multipliée par \(k^2=9\), et non par 3.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la position du centre. Le centre fixe l'endroit où se trouve l'image, pas sa taille.
Énoncé. \(ABCD\) est un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), avec \(AB=6\) cm. Ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(I\). Démontre que \(IA=3\,IC\), puis calcule \(IA\) et \(IC\) sachant que \(AC=8\) cm.
Solution. Les points \(I\), \(A\) et \(C\) sont alignés et \(I\) est distinct de \(A\) : il existe une homothétie \(h\) de centre \(I\) qui envoie \(A\) sur \(C\). Notons \(k\) son rapport.
L'image de la droite \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c'est-à-dire \((CD)\). L'image de \(B\) est donc sur \((CD)\). Elle est aussi sur la droite \((IB)\), qui est la droite \((BD)\). Le seul point commun à ces deux droites est \(D\) : \(h(B)=D\).
D'après la propriété fondamentale, \(\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), donc \(k=-\dfrac{1}{3}\). Ainsi \(\overrightarrow{IC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}\), d'où \(IC=\dfrac{1}{3}\,IA\), c'est-à-dire \(IA=3\,IC\).
Le rapport est négatif : \(I\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=IA+IC=4\,IC\). Avec \(AC=8\) cm, on obtient \(IC=2\) cm et \(IA=6\) cm. De même \(IB=3\,ID\).
Énoncé. Dans un repère, une homothétie \(h\) envoie \(A(2;1)\) sur \(A'(4;5)\) et \(B(3;0)\) sur \(B'(7;2)\). Détermine son rapport et son centre, puis l'image du point \(C(0;2)\).
Rapport. \(\overrightarrow{AB}(1;-1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3;-3)\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=3\,\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(k=3\).
Centre. Soit \(O(x;y)\) le centre. L'égalité \(\overrightarrow{OA'}=3\,\overrightarrow{OA}\) s'écrit \(4-x=3(2-x)\) et \(5-y=3(1-y)\). La première équation donne \(2x=2\), soit \(x=1\) ; la seconde donne \(2y=-2\), soit \(y=-1\). Le centre est \(O(1;-1)\).
Vérification avec \(B\). \(\overrightarrow{OB}(2;1)\) et \(\overrightarrow{OB'}(6;3)\) : on a bien \(\overrightarrow{OB'}=3\,\overrightarrow{OB}\).
Image de \(C\). \(\overrightarrow{OC}(-1;3)\), donc \(\overrightarrow{OC'}=3\,\overrightarrow{OC}\) a pour coordonnées \((-3;9)\), et \(C'\) a pour coordonnées \((1-3;-1+9)\), soit \(C'(-2;8)\).
Premier piège : le signe. L'égalité \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) porte sur des vecteurs. Pour les longueurs, c'est \(A'B'=|k|\times AB\) : une longueur n'est jamais négative. Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\) et \(AB=4\) cm, on trouve \(A'B'=2\) cm, et non \(-2\) cm.
Deuxième piège : les aires. Les aires sont multipliées par \(k^2\), pas par \(k\). Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\), un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire \(\dfrac{1}{4}\times 6=1{,}5\) cm². Une aire doublée ne correspond donc pas à des longueurs doublées.
Troisième piège : le centre. Le centre \(O\) n'est le milieu de \([MM']\) que pour \(k=-1\). Dans tous les autres cas, on sait seulement que \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés.
Quatrième piège : l'ordre des points. Dire que \(h\) envoie \(A\) sur \(A'\) avec le rapport \(k\) s'écrit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\). Écrire \(\overrightarrow{OA}=k\,\overrightarrow{OA'}\) revient à prendre l'homothétie réciproque, de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Rotation : définition, réciproque, composée
Rappel de PremièreRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
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Voir les offresFigure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Déterminant de deux vecteurs, colinéarité, alignement, milieu
Rappel de SecondeL'étude des vecteurs du plan ne se limite pas à des manipulations algébriques : elle fournit les outils qui serviront toute l'année pour la géométrie (parallélisme, alignement, milieu, barycentre). On évoquera au passage la notion d'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), mais aucun développement abstrait n'est exigible à ce niveau.
Un vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée \(\|\vec{u}\|\). Deux vecteurs sont égaux si le quadrilatère qu'ils déterminent (avec leurs origines et extrémités) est un parallélogramme — ce qui correspond à la translation qui envoie l'un sur l'autre. L'opposé de \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est \(-\vec{u}=\overrightarrow{BA}\) ; il correspond à la symétrie centrale.
Une combinaison linéaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un vecteur de la forme \(a\vec{u}+b\vec{v}\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Une base du plan est un couple de vecteurs \((\vec{i},\vec{j})\) non colinéaires. Dans une base, tout vecteur \(\vec{w}\) se décompose de façon unique : \(\vec{w} = x\vec{i}+y\vec{j}\) ; \((x,y)\) sont les coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base.
Dans une base, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\), le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est
\[ \det(\vec u,\vec v) = xy' - x'y. \]\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\).
Facile. \(\vec u(3;2)\) et \(\vec v(6;4)\) : \(\det(\vec u,\vec v)=3\times4-6\times2=12-12=0\) : colinéaires (en effet \(\vec v=2\vec u\)).
Décomposition. Dans la base \((\vec i,\vec j)\), décomposer \(\vec w = 2\vec i - \vec j\) sur \(\vec u=\vec i+\vec j\) et \(\vec v=\vec i-\vec j\) (non colinéaires). On cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2\vec i-\vec j=(a+b)\vec i+(a-b)\vec j\). Par identification : \(a+b=2\) et \(a-b=-1\), soit \(a=\tfrac12\), \(b=\tfrac32\).
Droites parallèles : \((AB)\parallel(CD)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Points alignés : \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), ou encore \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12\big(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\big)\) pour toute origine \(O\).
Thalès et homothétie : la multiplication d'un vecteur par un scalaire \(k\) correspond à une homothétie de rapport \(k\) ; le théorème de Thalès en géométrie plane traduit exactement cette proportionnalité vectorielle.
Pour montrer que \(A,B,C\) sont alignés : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant. S'il est nul, les points sont alignés.
Exemple. \(A(1;2)\), \(B(3;5)\), \(C(-1;-4)\). \(\overrightarrow{AB}(2;3)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;-6)\). \(\det=2\times(-6)-(-2)\times3=-12+6=-6\ne0\) : \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Figure interactive — Alignement de trois points
Déplacez le point C : la couleur du triangle change selon que A, B, C sont alignés (déterminant nul) ou non.
Angle inscrit et cocyclicité
Dans un cercle de centre \(O\), l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) est le double de tout angle inscrit \(\widehat{ACB}\) qui intercepte le même arc \(\overset{\frown}{AB}\). Deux angles inscrits dans le même arc sont donc égaux.
\[ \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right) = 2\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \pmod{2\pi}. \]Cas particulier fondamental : si \([AB]\) est un diamètre, tout angle inscrit dans le demi-cercle vaut \(\pm\dfrac{\pi}{2}\) — c'est le théorème de Thalès dans le cercle.
Quatre points distincts \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont cocycliques ou alignés si et seulement si :
\[ \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right) \ [\pi]. \]En pratique, on calcule les deux angles orientés modulo \(\pi\) et on vérifie s'ils coïncident. Si l'un des quatre points est à l'infini, la condition se ramène à l'alignement des trois autres.
En notant \(z_A, z_B, z_C, z_D\) les affixes des quatre points, le critère de cocyclicité est équivalent à demander que le birapport
\[ \frac{(z_A - z_C)(z_B - z_D)}{(z_B - z_C)(z_A - z_D)} \in \mathbb{R}. \]Si ce birapport est réel strictement positif, les quatre points sont cocycliques (ils sont sur le même arc) ; s'il est négatif, ils sont cocycliques mais séparés par la corde \([AB]\). Ce lien est exploité dans les exercices qui mêlent géométrie et complexes.
- Méthode directe : chercher le cercle passant par trois des points (deux médiatrices perpendiculaires) et vérifier que le quatrième est sur ce cercle.
- Méthode des angles : calculer \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) et \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) et montrer qu'ils sont égaux modulo \(\pi\).
- Méthode des complexes : montrer que le birapport est réel.
Exemple 1 — Cercle de diamètre et angle droit. Si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) pour tout \(M\) d'un ensemble \(\mathcal{E}\), alors \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2}\) : tous les points de \(\mathcal{E}\) voient \([AB]\) sous un angle droit. Par le théorème de Thalès inversé, \(\mathcal{E}\) est le cercle de diamètre \([AB]\) — la ligne de niveau de la section précédente et le critère de cocyclicité se rejoignent.
Exemple 2 — Vérification par les angles. \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\), \(C(0;1)\), \(D(0;-1)\). \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) : \(\overrightarrow{CA}(1;-1)\), \(\overrightarrow{CB}(-1;-1)\), \(\cos\theta = \frac{-1+1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = 0\), donc l'angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) : \(\overrightarrow{DA}(1;1)\), \(\overrightarrow{DB}(-1;1)\), même calcul, angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). Égalité modulo \(\pi\) : les quatre points sont cocycliques. (C'est le cercle unité \(x^2+y^2=1\).)
Cocyclicité — déplacer \(D\) pour voir quand les quatre points restent cocycliques
Point \(D\) (mobile)
D sur le cercle : cocycliques
Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité
Rappel de SecondeUn vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :
\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]C'est une représentation paramétrique de \(d\).
En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.
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Voir les offresÉcriture complexe des transformations du plan
1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)
2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)
3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).
Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).
Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité
| Condition géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) | quotient imaginaire pur |
| ABC isocèle rect. en A | quotient \(=\pm i\) |
| ABC équilatéral | module 1, arg \(=\pm\pi/3\) |
| ABCD parallélogramme | \(z_A+z_C=z_B+z_D\) |
| Angle \(\widehat{BAC}\) | \(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\) |
Résumé
Base = 2 vecteurs non colinéaires. Décomposition unique de tout vecteur dans une base donnée.
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\). Nul \(\iff\) vecteurs colinéaires.
Points alignés / droites parallèles : déterminant nul des vecteurs associés.
\(I\) milieu de \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) pour toute origine \(O\).
\(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Multiplie distances par \(|k|\), aires par \(k^2\). Conserve alignement, parallélisme, barycentres.
Conserve toutes les distances et les aires. Propriétés admises, jamais démontrées à ce niveau — simple initiation.
Homothétie de rapport \(-1\) = symétrie centrale. Rotation de \(180°\) = symétrie centrale de même centre.
Étude systématique des composées de transformations — aucune capacité exigible à ce sujet.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
\(M'=h(M)\) signifie \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\). Même côté de \(O\) si \(k\gt 0\), côtés opposés si \(k\lt 0\).
\(O\) est le seul point invariant si \(k\ne 1\). \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Réciproque : même centre, rapport \(\dfrac{1}{k}\).
\(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) : \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=|k|\times AB\).
Droite, segment, cercle : image de même nature. Angles, milieux, parallélisme conservés. Longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\).
Nommer le centre et le rapport, justifier chaque image, conclure avec le parallélisme, les longueurs ou l'alignement.
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Voir les offresSujet type Bac
Dans un repère, on donne \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;2)\).
Question 1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB}(4-(-2)\,;\,3-1)=(6;2)\). \(\overrightarrow{AC}(1-(-2)\,;\,2-1)=(3;1)\).
Question 2. \(A, B, C\) sont-ils alignés ?
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=6\times1-3\times2=6-6=0\) : les points sont alignés (\(C\) est d'ailleurs le milieu de \([AB]\), à vérifier : \(\tfrac{-2+4}{2}=1\), \(\tfrac{1+3}{2}=2\) — coordonnées de \(C\). Confirmé.)
Question 3. Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\). Calculer les coordonnées de \(D\).
\(\overrightarrow{AD}=3(6;2)=(18;6)\). Donc \(D = A+\overrightarrow{AD} = (-2+18\,;\,1+6)=(16;7)\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(k=3\). Soit \(A(2;1)\) et \(B(-1;4)\).
Question 1. Déterminer les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par \(h\).
\(A'(3\times2;3\times1)=(6;3)\). \(B'(3\times(-1);3\times4)=(-3;12)\).
Question 2. Comparer \(A'B'\) et \(AB\).
\(AB=\sqrt{(-1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\). \(A'B'=\sqrt{(-3-6)^2+(12-3)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt2\).
On a bien \(A'B' = |k|\times AB = 3\times3\sqrt2=9\sqrt2\), conforme à la propriété : l'homothétie multiplie les distances par \(|k|\).
Question 3. \((AB)\) et \((A'B')\) sont-elles parallèles ? Justifier sans calcul de coordonnées supplémentaire.
Oui : une propriété générale de l'homothétie est que l'image d'une droite est une droite parallèle. Comme \((A'B')\) est l'image de \((AB)\) par \(h\), elles sont nécessairement parallèles.
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