Terminale D · Leçon 5
Fonctions logarithmes
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- la définition de la fonction logarithme népérien
- la définition de la fonction logarithme décimal
- la définition de la fonction logarithme de base 𝑎 ; 𝑎 ∈ ]0;1[ ∪ ]1; +∞[
- les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
- la dérivée de la fonction logarithme népérien
- le sens de variation de la fonction logarithme népérien
- la représentation graphique de la fonction logarithme népérien
- les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal
- les limites de référence de la fonction logarithme népérien
- les fonctions dérivées des fonctions du type : ln∘ 𝑢 et ln∘ |𝑢|
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Le logarithme népérien est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) qui s'annule en 1 :
\[\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt\]
Pour tout \(x>0\) : \(\bigl(\ln x\bigr)'=\dfrac{1}{x}\) et \(\ln(1)=0\).
\[\mathbb{D}_{\ln}=\;]0\,;\,+\infty[\]
\(\ln(0)\) et \(\ln(-5)\) sont impossibles. Tout argument de \(\ln\) doit être strictement positif. Oublier cette condition au Bac coûte 2 à 3 points.
\(\ln\) et \(\exp\) sont des fonctions réciproques :
\[\forall x\in\mathbb{R}:\ln(e^x)=x \qquad\forall x>0:e^{\ln(x)}=x\]
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln(1)\) | 0 | \(e^0=1\) |
| \(\ln(e)\) | 1 | \(e^1=e\) |
| \(\ln(e^2)\) | 2 | \(e^2=e^2\) |
| \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) | −1 | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(\ln(\sqrt{e})\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{e}=e^{1/2}\) |
| \(\ln(e^a)\) | \(a\) | Cas général |
Tout argument de la forme \(e^a\) se simplifie immédiatement. Exemple : \(\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\dfrac{1}{2}\).
Figure interactive — Courbe de \(y=\ln(x)\) et valeurs remarquables
La courbe de ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Elle passe par (1;0) et (e;1). La droite x=0 est une asymptote verticale. Activez y=eˣ pour visualiser la symétrie par rapport à y=x.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) | Produit → Somme |
| Quotient | \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\) | Quotient → Différence |
| Puissance | \(\ln(a^n)=n\cdot\ln(a)\) | Exposant → Coefficient |
| Inverse | \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\) | Inverse → Opposé |
| Racine | \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) | Car \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) |
\(\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)\) — FAUX
\(\ln(a-b)\neq\ln(a)-\ln(b)\) — FAUX
Les propriétés s'appliquent aux produits et quotients uniquement.
Posons \(f(x)=\ln(ax)\). Alors \(f'(x)=\frac{1}{x}=(\ln x)'\), donc \(f(x)=\ln(x)+C\). En \(x=1\) : \(f(1)=\ln(a)=C\). Ainsi \(\ln(ax)=\ln(x)+\ln(a)\). En \(x=b\) : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).
1. \(\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln(2)\)
2. \(\ln(x^2y^3)=2\ln(x)+3\ln(y)\)
3. \(\ln\!\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{y}}\right)=3\ln(x)-\dfrac{1}{2}\ln(y)\)
4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^2 x^3}{e\cdot y}\right)=1+3\ln(x)-\ln(y)\)
5. \(2\ln(x)-3\ln(y)+\ln(z)=\ln\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^3}\right)\)
(1) Sortir les exposants avec \(\ln(a^n)=n\ln a\) → (2) Transformer produits en sommes et quotients en différences → (3) Identifier \(\ln(e^a)=a\).
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
\[\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\qquad\text{(asymptote verticale }x=0\text{)}\]
\[\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\]
\[\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}\qquad\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u>0)\]
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus fréquente. Mémo : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x)=\ln(2x+1)\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x)=\ln(x^2+1)\) → \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x)=x^2\ln(x)\) → \(h'(x)=2x\ln(x)+x=x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\) → \(k'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) est différent de \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\)).
\(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
\[\ln(a)=\ln(b)\Longleftrightarrow a=b \qquad \ln(a)<\ln(b)\Longleftrightarrow a<b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=\ln(x)\)
La pente de la tangente en a est f′(a)=1/a. Plus a est grand, plus la courbe s'aplatit. Activez y=1/x pour voir la courbe dérivée converger vers 0.
Dérivée d'une fonction composée
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]