Terminale D · Leçon 8
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
- les propriétés sur la convergence des suites numériques
- si (𝑢𝑛)est une suite convergente vers 𝑎 et 𝑓 une fonction continue en 𝑎 alors la suite 𝑣𝑛 = 𝑓(𝑢𝑛) converge vers 𝑓(𝑎).
- soit 𝑓 une fonction, 𝐷𝑓 son ensemble et (𝑢𝑛) une suite d’éléments de 𝐷f.
- les propriétés des suites récurrentes définies par une relation du type 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛)
- les propriétés sur la divergence des suites monotones
- Toute suite croissante et non majorée a pour limite +∞
- Toute suite décroissante et non minorée a pour limite −∞
- des suites géométriques
- L’étude des suites sera étroitement liée à celle des fonctions. Le sens de variation ou les propriétés de certaines fonctions permettront de conclure sur le comportement des suites.
- Dans l’étude d’une suite récurrente, on pourra s’appuyer, quand le contexte le permettra, sur la représentation graphique pour conjecturer le comportement de la suite.
Source : Programme éducatif Terminale D, DPFC, version CND 0923
Théorèmes de convergence : monotone bornée, gendarmes, suites adjacentes
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) : la suite est convergente. Elle peut diverger sans avoir de limite : \(u_n=(-1)^n\) oscille entre −1 et 1.
| Suite \(u_n\) | Limite en \(+\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | 0 |
| \(n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q|<1\) | 0 |
| \(q^n\) si \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q=1\) | 1 |
| \(q^n\) si \(q\leq-1\) | Pas de limite |
Si \(|q|<1\) alors \(q^n\to 0\). Exemples : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\), \((0{,}9)^n\to 0\), \((-0{,}3)^n\to 0\). Si \(|q|>1\) la suite diverge.
Les formes \(+\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-4}=\lim\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(5-\frac{4}{n^2})}=\frac{3}{5}\)
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Suites géométriques : terme général et somme
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq 0\) si \(u_{n+1}=q\cdot u_n\), soit \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\).
\[u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}\]
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (si \(q\neq 1\)) :
\[S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)\,u_0\)
\(u_0=2\), \(q=3\) → \(u_n=2\times 3^n\) → \(u_5=486\).
Somme : \(S_5=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{728}\)
\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide pour \(q=1\) (division par zéro). Dans ce cas utiliser \(S_n=(n+1)\,u_0\).
- Arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\)
- Géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2=u_{n-1}\times u_{n+1}\)
Figure interactive — Arithmétique vs Géométrique
Comparez la croissance linéaire (arithmétique, bleu) et la croissance exponentielle (géométrique, or). Pour |q|<1 la suite géométrique tend vers 0.
Suites monotones, majorées, minorées, bornées
- Croissante : \(u_{n+1}\geq u_n\) pour tout \(n\)
- Décroissante : \(u_{n+1}\leq u_n\) pour tout \(n\)
- Méthode 1 — différence : signe de \(u_{n+1}-u_n\) — universelle, toujours applicable
- Méthode 2 — rapport : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 — uniquement si tous les termes sont strictement positifs
- Méthode 3 — fonction associée : si \(u_n=f(n)\), étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0;+\infty[\)
Étudions \(u_n=n^2-4n\) :
\[u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-4(n+1)-(n^2-4n)=2n-3\]
\(u_{n+1}-u_n\geq 0\Leftrightarrow n\geq\frac{3}{2}\), soit \(n\geq 2\). Donc décroissante pour \(n\leq 1\), croissante pour \(n\geq 2\).
Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) n'est valide que si tous les termes sont strictement positifs. En présence de termes négatifs, le signe du rapport peut induire en erreur : utiliser la différence.
- Majorée : \(\exists M\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\leq M\)
- Minorée : \(\exists m\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\geq m\)
- Bornée : majorée et minorée, i.e. \(m\leq u_n\leq M\) pour tout \(n\)
Exemples : \(u_n=\frac{1}{n+1}\) bornée · \(u_n=n^2\) minorée non majorée · \(u_n=(-1)^n\) bornée
Figure interactive — Visualisation d'une suite
Choisissez un type et cliquez Tracer
Points (n, uₙ) représentés en bleu. La droite rouge en tirets indique la borne inférieure visible. Modifiez les paramètres pour observer croissance, décroissance, bornage.
Résumé
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.