Terminale D · Leçon 10
Statistiques à deux variables
Exercices corrigés
Nuage de points — moyennes — centre de gravité $G$
Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité
Un lycée relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :
| Élève | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x (Maths) | 8 | 10 | 12 | 14 | 9 | 11 | 15 | 13 |
| y (Physique) | 7 | 9 | 11 | 13 | 8 | 10 | 14 | 12 |
1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.
3. Que remarque-t-on visuellement ?
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- $\bar{x}=\dfrac{8+10+12+14+9+11+15+13}{8}=\dfrac{92}{8}=\boxed{11{,}5}$
$\bar{y}=\dfrac{7+9+11+13+8+10+14+12}{8}=\dfrac{84}{8}=\boxed{10{,}5}$ - Centre de gravité : $G(11{,}5\,;\,10{,}5)$
- Les points sont très bien alignés → forte corrélation linéaire positive entre les notes de Maths et de Physique.
Droite de régression des moindres carrés $y=ax+b$
Exercice 2 — Régression linéaire
Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :
| Année $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| CA $y$ | 12 | 15 | 17 | 20 | 24 |
Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$ $b=\bar{y}-a\bar{x}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.
2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.
3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.
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- $\bar{x}=3$ · $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+20+24}{5}=\dfrac{88}{5}=17{,}6$
$\overline{xy}=\dfrac{1\times12+2\times15+3\times17+4\times20+5\times24}{5}=\dfrac{12+30+51+80+120}{5}=\dfrac{293}{5}=58{,}6$
$\overline{x^2}=\dfrac{1+4+9+16+25}{5}=\dfrac{55}{5}=11$ - $a=\dfrac{58{,}6-3\times17{,}6}{11-9}=\dfrac{58{,}6-52{,}8}{2}=\dfrac{5{,}8}{2}=\boxed{2{,}9}$
$b=17{,}6-2{,}9\times3=17{,}6-8{,}7=\boxed{8{,}9}$
Droite : $\boxed{y=2{,}9x+8{,}9}$ - Année 6 : $y=2{,}9\times6+8{,}9=\boxed{26{,}3}$ M FCFA
Année 8 : $y=2{,}9\times8+8{,}9=\boxed{32{,}1}$ M FCFA
Coefficient de corrélation linéaire $r$ — interprétation
Exercice 3 — Coefficient de corrélation
Températures moyennes mensuelles ($x$, en °C) et consommation d'eau (en milliers de litres $y$) dans une ville :
| $x$ | 20 | 24 | 28 | 30 | 32 | 26 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 40 | 52 | 60 | 65 | 70 | 55 |
Formule : $r=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$ avec $\sigma_x=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\overline{xy}$.
2. Calculer $r$. Interpréter.
3. Peut-on utiliser un ajustement linéaire ? Si oui, déterminer la droite de régression.
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- $\bar{x}=\dfrac{20+24+28+30+32+26}{6}=\dfrac{160}{6}\approx26{,}67$ · $\bar{y}=\dfrac{40+52+60+65+70+55}{6}=\dfrac{342}{6}=57$
$\overline{x^2}=\dfrac{400+576+784+900+1024+676}{6}=\dfrac{4360}{6}\approx726{,}67$ → $\sigma_x=\sqrt{726{,}67-711{,}11}\approx\sqrt{15{,}56}\approx3{,}94$
$\overline{y^2}=\dfrac{1600+2704+3600+4225+4900+3025}{6}=\dfrac{20054}{6}\approx3342{,}3$ → $\sigma_y=\sqrt{3342{,}3-3249}\approx\sqrt{93{,}3}\approx9{,}66$
$\overline{xy}=\dfrac{800+1248+1680+1950+2240+1430}{6}=\dfrac{9348}{6}=1558$ - $r=\dfrac{1558-26{,}67\times57}{3{,}94\times9{,}66}=\dfrac{1558-1520{,}2}{38{,}06}=\dfrac{37{,}8}{38{,}06}\approx\boxed{0{,}993}$
$r\approx0{,}993$ : corrélation très forte et positive — la chaleur explique presque entièrement la consommation d'eau. - $|r|>0{,}99$ → ajustement linéaire parfaitement justifié.
$a=r\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}=0{,}993\times\dfrac{9{,}66}{3{,}94}\approx2{,}43$ · $b=57-2{,}43\times26{,}67\approx57-64{,}8\approx-7{,}8$
Droite : $\boxed{y\approx2{,}43x-7{,}8}$
Ajustement affine complet — prévision et résidus
Exercice 4 — Production agricole
Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :
| Pluie $x$ (mm) | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Production $y$ (t) | 120 | 150 | 195 | 230 | 270 | 310 |
1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.
2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.
3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.
4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.
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- $\bar{x}=650$ · $\bar{y}=212{,}5$ · $\overline{xy}=\dfrac{400\times120+\cdots+900\times310}{6}=\dfrac{893000}{6}\approx148833$
$\overline{x^2}=\dfrac{400^2+\cdots+900^2}{6}=\dfrac{2870000}{6}\approx478333$
$a=\dfrac{148833-650\times212{,}5}{478333-422500}=\dfrac{148833-138125}{55833}=\dfrac{10708}{55833}\approx\boxed{0{,}3755}$
$b=212{,}5-0{,}3755\times650\approx212{,}5-244\approx\boxed{-31{,}6}$
Droite : $\boxed{\hat{y}=0{,}376x-31{,}6}$ - $\sigma_x\approx182{,}6$ · $\sigma_y\approx64{,}5$ · $r=\dfrac{a\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{0{,}376\times182{,}6}{64{,}5}\approx\boxed{0{,}995}$ → ajustement excellent.
- $x=750$ : $\hat{y}=0{,}376\times750-31{,}6\approx\boxed{250}$ t
$x=1000$ : $\hat{y}=0{,}376\times1000-31{,}6\approx\boxed{344}$ t (extrapolation — prudence !) - Résidus : $e_1\approx+0{,}4$ · $e_2\approx-0{,}5$ · $e_3\approx+3{,}1$ · $e_4\approx-2{,}4$ · $e_5\approx+0{,}4$ · $e_6\approx-1{,}0$
Très petits → la droite est une bonne représentation.
Ajustement puissance $y=ax^b$ et logarithmique
Exercice 6 — Ajustement puissance
Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :
| $x$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 48 | 76 | 121 | 192 |
1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$. 2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$. 3. Déduire $a$, $b$. 4. Prévision pour $x=600$. 5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.
Série chronologique — tendance et moyennes mobiles
Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité
Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 3 ans :
| Trimestre | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes | 80 | 120 | 95 | 70 | 90 | 135 | 108 | 82 | 102 | 150 | 122 | 95 |
1. Tracer la série. 2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4. 3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles. 4. Coefficients saisonniers. 5. Prévision du trimestre 13.
Test du $\chi^2$ d'indépendance — tableau de contingence
Exercice 8 — Test χ² et tableau de contingence
Enquête sur 200 élèves : résultats au Bac (Admis/Ajourné) selon la filière (Scientifique / Littéraire / Technique) :
| Scientifique | Littéraire | Technique | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Admis | 60 | 40 | 30 | 130 |
| Ajourné | 20 | 30 | 20 | 70 |
| Total | 80 | 70 | 50 | 200 |
1. Calculer les effectifs théoriques $e_{ij}=\dfrac{(\text{total ligne}_i)\times(\text{total col}_j)}{n}$.
2. Calculer $\chi^2=\displaystyle\sum_{i,j}\dfrac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$.
3. À l'aide de la table χ² (ddl=2, seuil 5% → valeur critique 5,99) : conclure sur l'indépendance.
Problème complet type Bac — régression et prévision
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :
| $x$ (années) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (k FCFA) | 85 | 95 | 112 | 135 | 155 | 178 | 200 |
Partie A — Ajustement linéaire
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.
2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.
Partie B — Ajustement exponentiel
3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.
4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?
Partie C — Application
5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?
Publicité et recettes d'une coopérative : les deux droites de régression
Une coopérative qui transforme et vend du beurre de karité fait passer des annonces sur une radio locale. Pendant cinq mois, elle a noté son budget de publicité \(x_i\), en dizaines de milliers de francs, et sa recette du mois \(y_i\), en centaines de milliers de francs.
| Budget de publicité \(x_i\) | 1 | 2 | 4 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Recette \(y_i\) | 11 | 13 | 14 | 15 | 17 |
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage de points, puis les variances \(V(x)\) et \(V(y)\).
2) Calcule la covariance de la série, puis son coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Un ajustement linéaire est-il justifié ?
3) Détermine une équation de la droite \((D)\) de régression de \(y\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés. Quelle recette peut-on prévoir pour un budget de publicité de 100 000 francs ?
4) Détermine une équation de la droite \((D')\) de régression de \(x\) en \(y\). La coopérative vise une recette de 2 000 000 de francs : estime le budget de publicité nécessaire à l'aide de \((D')\), puis compare avec la valeur que donnerait la droite \((D)\).
5) On note \(a\) et \(a'\) les coefficients de \(x\) dans l'équation de \((D)\) et de \(y\) dans l'équation de \((D')\). Démontre que, pour toute série dont les variances ne sont pas nulles, \(a\times a'=r^2\), et vérifie-le ici. Explique alors pourquoi les droites \((D)\) et \((D')\), qui passent toutes deux par \(G\), ne sont pas confondues.
Pourquoi « moindres carrés » ? Étude d'une somme de carrés
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on considère la série statistique double représentée par les quatre points \(M_1(0;3)\), \(M_2(1;2)\), \(M_3(3;6)\) et \(M_4(4;9)\). On note \((x_i;y_i)\) les coordonnées du point \(M_i\).
1) Calcule les coordonnées \((\bar{x};\bar{y})\) du point moyen \(G\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), et la covariance de la série.
2) Pour tout réel \(m\), on note \((\Delta_m)\) la droite passant par \(G\) et de coefficient directeur \(m\), et \(S(m)\) la somme des carrés des quatre écarts \(y_i-\left(\bar{y}+m(x_i-\bar{x})\right)\) entre l'ordonnée de chaque point \(M_i\) et celle du point de \((\Delta_m)\) de même abscisse. Démontre que \(S(m)=10m^2-32m+30\).
3) Étudie les variations de la fonction \(S\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en la valeur \(m_0\) de \(m\) pour laquelle \(S(m)\) est minimale, la valeur de ce minimum, et l'équation réduite de la droite \((\Delta_{m_0})\).
4) Compare \(m_0\) au quotient de la covariance par \(V(x)\). Quelle droite reconnais-tu ? Explique ce que les questions précédentes viennent d'établir à son sujet.
5) Calcule la valeur exacte de \(r^2\), où \(r\) est le coefficient de corrélation linéaire de la série, puis l'arrondi au centième de \(r\). Vérifie que \(S(m_0)=4V(y)\left(1-r^2\right)\). Sachant qu'une égalité de cette forme est vraie pour toute série, justifie qu'un coefficient de corrélation linéaire est toujours compris entre \(-1\) et 1.
Heures de révision et notes : exploiter un tableau à double entrée
Dans un lycée, on a interrogé 50 élèves de Terminale sur le nombre d'heures \(x\) qu'ils consacrent chaque semaine à réviser les mathématiques en dehors des cours, et on a relevé leur note \(y\), sur 20, au dernier devoir commun. Les résultats, regroupés, sont donnés dans le tableau à double entrée ci-dessous : par exemple, 5 élèves révisent 2 heures et ont obtenu 12.
| \(y=8\) | \(y=12\) | \(y=16\) | |
|---|---|---|---|
| \(x=2\) | 8 | 5 | 2 |
| \(x=4\) | 4 | 12 | 4 |
| \(x=6\) | 3 | 3 | 9 |
1) Détermine la série marginale du caractère \(x\) et celle du caractère \(y\), avec leurs fréquences marginales.
2) Calcule les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), et donne les coordonnées du point moyen \(G\).
3) Calcule la covariance de la série.
4) Calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\). Interprète sa valeur.
5) Détermine une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). Quelle note cette droite fait-elle prévoir pour un élève qui révise 5 heures par semaine ?
6) Calcule la note moyenne des élèves qui révisent 2 heures, puis celle des élèves qui révisent 4 heures, puis 6 heures. Vérifie que les trois points ainsi obtenus sont sur la droite de régression. En tenant compte de la valeur de \(r\), explique ce que cette droite permet de prévoir et ce qu'elle ne permet pas de prévoir.
Abonnés d'un service de livraison : ajustement après passage au logarithme
Une jeune entreprise livre des repas à domicile dans une grande ville. Le tableau donne son nombre d'abonnés \(y_i\) à la fin de chacune de ses cinq premières années, de rang \(x_i\), ainsi que \(z_i=\ln y_i\), arrondi au centième.
| Rang de l'année \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'abonnés \(y_i\) | 446 | 596 | 829 | 1086 | 1480 |
| \(z_i=\ln y_i\) | 6,10 | 6,39 | 6,72 | 6,99 | 7,30 |
1) Calcule les augmentations successives du nombre d'abonnés d'une année à la suivante, puis les quotients \(\dfrac{y_{i+1}}{y_i}\), arrondis au centième. Explique pourquoi un ajustement affine de \(y\) en \(x\) est peu adapté, et pourquoi il est naturel d'étudier plutôt la série \((x_i;z_i)\).
2) Avec les valeurs du tableau, calcule les coordonnées du point moyen du nuage des points de coordonnées \((x_i;z_i)\), la variance \(V(x)\) et la covariance de \(x\) et \(z\).
3) Détermine une équation de la droite de régression de \(z\) en \(x\) par la méthode des moindres carrés.
4) Déduis-en une expression de \(y\) en fonction de \(x\). On note \(u_n\) le nombre d'abonnés que cette expression donne pour l'année de rang \(n\). Démontre que la suite \((u_n)\) est géométrique et interprète sa raison par un pourcentage d'augmentation annuelle, arrondi à l'unité.
5) Avec ce modèle, estime le nombre d'abonnés à la fin de l'année de rang 8, arrondi à l'unité, puis détermine le rang de la première année à la fin de laquelle le nombre d'abonnés dépasserait 10 000.