Probabilité conditionnelle et variable aléatoire

Exercice 3 — Probabilités et événements

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.

Soit $A$ = "obtenir un as" et $B$ = "obtenir un cœur".

1. $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$.  2. $P(A\cup B)$ par la formule d'inclusion-exclusion.  3. $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$.  4. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Exercice 4 — Test médical et formule de Bayes

Une maladie touche 1% de la population ($P(M)=0{,}01$). Un test détecte la maladie avec :

$P(+|M)=0{,}99$ (sensibilité) · $P(-|\bar{M})=0{,}95$ (spécificité), donc $P(+|\bar{M})=0{,}05$.

1. Compléter l'arbre des probabilités.

2. $P(+)$ par la loi des probabilités totales.

3. $P(M|+)$ par la formule de Bayes — commenter.

Exercice 5 — Jeu de dés

On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ = valeur absolue de la différence des faces.

1. Dresser le tableau de la loi de $X$ (valeurs de 0 à 5).

2. Calculer $E(X)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

3. Le jeu est-il équitable si on gagne $X$ FCFA par lancé et qu'on paye 2 FCFA pour jouer ?

Exercice 6 — Loi binomiale

$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$

Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.

1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses.  2. $P(X=3)$.  3. $P(X\geq6)$.  4. $E(X)$ et $V(X)$.  5. Tracer la loi.

Exercice 7 — Loi des grands nombres

On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.

1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?

2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?

Exercice 8 — Loi normale et intervalle de confiance

Les notes au Bac d'une grande ville suivent une loi normale $\mathcal{N}(11,2{,}5^2)$.

1. Courbe de densité. Interprétation de $\mu=11$ et $\sigma=2{,}5$.

2. Calculer $P(8{,}5\leq X\leq13{,}5)$ (règle des 68%). Interpréter.

3. Quelle fraction d'élèves a une note entre 6 et 16 (règle des 95%) ?

4. Théorème central limite : si on prend un échantillon de $n=100$ élèves, quelle est la loi approchée de $\bar{X}$ ?

5. Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$.

Pour se rendre au lycée, Koffi utilise chaque matin un seul moyen de déplacement : il part à pied avec la probabilité \(0{,}5\), à vélo avec la probabilité \(0{,}3\) et en taxi collectif avec la probabilité \(0{,}2\). Il arrive à l'heure avec la probabilité \(0{,}9\) s'il part à pied, \(0{,}8\) s'il part à vélo et \(0{,}3\) seulement s'il prend le taxi collectif, souvent bloqué dans les embouteillages. Pour un matin donné, on note \(P\), \(V\) et \(T\) les événements « Koffi part à pied », « Koffi part à vélo », « Koffi prend le taxi collectif », et \(H\) l'événement « Koffi arrive à l'heure ».

1) Justifie que \(P\), \(V\) et \(T\) forment un système complet d'événements. Décris l'arbre pondéré qui représente la situation, puis calcule \(p(P\cap H)\), \(p(V\cap H)\) et \(p(T\cap H)\).

2) Démontre que \(p(H)=0{,}75\).

3) Un matin, Koffi arrive en retard. Calcule la probabilité qu'il ait pris le taxi collectif ce matin-là, puis interprète ce résultat.

4) Les événements \(V\) et \(H\) sont-ils indépendants ? Justifie.

5) On observe Koffi pendant les 5 matins d'une semaine de cours et on admet que ce qui se passe un matin ne dépend pas des autres matins. On note \(X\) le nombre de matins où il arrive à l'heure. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres, puis calcule, sous forme de fractions, la probabilité qu'il arrive à l'heure les 5 matins et la probabilité qu'il arrive à l'heure au moins 4 matins.

6) Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de \(X\) (arrondi au centième pour l'écart-type). Interprète l'espérance.

Une association reçoit un carton de 10 lampes solaires d'aspect identique. Sans qu'elle le sache, 4 de ces lampes ont une batterie défaillante. Un bénévole prend au hasard, simultanément, 3 lampes dans le carton pour les essayer ; tous les choix ont la même probabilité. On note \(X\) le nombre de lampes défaillantes parmi les 3 lampes prises.

1) Combien y a-t-il de choix possibles ? Justifie l'outil de dénombrement utilisé.

2) Établis la loi de probabilité de \(X\) et vérifie que la somme des probabilités vaut 1.

3) Détermine la fonction de répartition \(F\) de \(X\), définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=p(X\leq x)\), et décris sa représentation graphique. Utilise \(F\) pour calculer \(p(X\geq2)\).

4) Calcule l'espérance, la variance et l'écart-type de \(X\).

5) Le bénévole constate qu'au moins une des 3 lampes est défaillante. Calcule la probabilité qu'une seule le soit.

6) Un second bénévole procède autrement : il prend une lampe au hasard, l'essaie, la remet dans le carton, et recommence jusqu'à avoir fait 3 essais. On note \(Y\) le nombre d'essais qui tombent sur une lampe défaillante. Justifie que \(Y\) suit une loi binomiale, donne son espérance et sa variance, puis compare avec les résultats de la question 4 et interprète.

Chaque jour, Moussa joue une partie d'awalé contre un programme installé sur son téléphone ; il n'y a jamais de partie nulle. Il gagne la première partie avec la probabilité \(\dfrac{1}{2}\). Ensuite, s'il a gagné une partie, il gagne la suivante avec la probabilité \(\dfrac{3}{5}\) ; s'il l'a perdue, il gagne la suivante avec la probabilité \(\dfrac{1}{5}\). Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(G_n\) l'événement « Moussa gagne la \(n\)-ième partie » et \(p_n=p(G_n)\). Ainsi \(p_1=\dfrac{1}{2}\).

On donne \(\ln(0{,}006)\approx-5{,}116\) et \(\ln(0{,}4)\approx-0{,}916\).

1) Décris l'arbre pondéré qui représente les deux premières parties, puis calcule \(p_2\). Sachant que Moussa a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu'il ait gagné la première ?

2) On note \(X\) le nombre de parties gagnées par Moussa parmi les deux premières. Établis la loi de probabilité de \(X\) et calcule son espérance. Explique pourquoi \(X\) ne suit pas une loi binomiale.

3) Soit \(n\) un entier naturel non nul. En utilisant le système complet formé par \(G_n\) et \(\overline{G_n}\), démontre que \(p_{n+1}=\dfrac{2}{5}\,p_n+\dfrac{1}{5}\).

4) Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(u_n=p_n-\dfrac{1}{3}\). Démontre que la suite \((u_n)\) est géométrique, puis exprime \(p_n\) en fonction de \(n\).

5) Étudie le sens de variation de la suite \((p_n)\) et détermine sa limite. Interprète ces deux résultats.

6) Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(p_n-\dfrac{1}{3}\lt 10^{-3}\).

Soit \(x\) un réel de l'intervalle \(]0\,;1[\). On répète trois fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité \(x\). On note \(X\) le nombre de succès obtenus.

1) Donne, en fonction de \(x\), la loi de probabilité de \(X\). Démontre que la somme des quatre probabilités vaut 1.

2) On pose \(f(x)=p(X=1)\). Étudie les variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0\,;1]\) et déduis-en la valeur de \(x\) pour laquelle la probabilité d'obtenir exactement un succès est maximale, ainsi que ce maximum.

3) Détermine les valeurs de \(x\) pour lesquelles la probabilité d'obtenir au moins un succès est supérieure ou égale à \(\dfrac{7}{8}\).

4) Dans cette question, \(x=\dfrac{1}{2}\). Calcule la probabilité d'obtenir exactement un succès sachant qu'on en a obtenu au moins un. On note ensuite \(A\) l'événement « la première épreuve est un succès » et \(D\) l'événement « le nombre de succès est impair » : les événements \(A\) et \(D\) sont-ils indépendants ?

5) Dans cette question, \(x=\dfrac{1}{3}\). Dresse le tableau de la loi de \(X\), calcule \(E(X)\) et \(V(X)\) à partir de ce tableau, puis vérifie tes résultats avec les formules de l'espérance et de la variance d'une loi binomiale.