Primitives

Exercice 1 — Primitives usuelles

Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$

2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$   sur $]0\,;\,+\infty[$

3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$

Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, puis vérifie ton résultat en dérivant.

1) \(f(x)=6x^2-4x+1\) sur \(\mathbb{R}\).

2) \(g(x)=\dfrac1{x^2}+x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

3) \(h(x)=\dfrac1{\sqrt x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).

4) \(k(x)=\cos x-3\sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué, en reconnaissant une forme usuelle.

1) \(f(x)=(2x+1)^4\) sur \(\mathbb{R}\).

2) \(g(x)=\dfrac x{x^2+4}\) sur \(\mathbb{R}\).

3) \(h(x)=e^{3x-1}\) sur \(\mathbb{R}\).

4) \(k(x)=\sin x\,\cos^3x\) sur \(\mathbb{R}\).

1) Soit \(f(x)=\dfrac3{3x+2}\) sur \(I=\left]-\dfrac23\,;+\infty\right[\). Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en \(0\).

2) Soit \(g(x)=x\,e^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine la primitive \(G\) de \(g\) telle que \(G(0)=1\).

3) Soit \(h(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine la primitive \(H\) de \(h\) telle que \(H(1)=0\).

1) Soit \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x+1}\) sur \(]-1\,;+\infty[\). Montre que \(f(x)=2+\dfrac1{x+1}\), puis détermine une primitive de \(f\).

2) Soit \(g(x)=(2x+3)e^x\) sur \(\mathbb{R}\). Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que \(G(x)=(ax+b)e^x\) soit une primitive de \(g\).

3) En linéarisant \(\cos^2x\), détermine la primitive \(K\) de \(x\mapsto\cos^2x\) qui s'annule en \(0\), puis calcule \(K(\pi)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(I=\left]1\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+3x+3}{(x-1)^2}\).

1) Détermine les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{(x-1)^2}\).

2) Justifie que \(f\) admet des primitives sur \(I\), puis détermine l'ensemble de ses primitives sur \(I\).

3) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) qui s'annule en 2, puis calcule \(F(3)\).

4) Sans nouveau calcul de dérivée, démontre que \(F\) est strictement croissante sur \(I\), puis donne le signe de \(F(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

5) Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe sur \(I\). Déduis-en que la courbe représentative de \(F\) possède un point d'inflexion \(B\), dont tu donneras les coordonnées, puis détermine une équation de la tangente à cette courbe en \(B\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\sin^2 x+\sin x\cos^2 x\).

1) On rappelle que, pour tout réel \(x\), \(\cos(2x)=1-2\sin^2 x\). Écris \(2\sin^2 x\) à l'aide de \(\cos(2x)\), puis détermine une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(x\mapsto 2\sin^2 x\).

2) En posant \(u(x)=\cos x\), reconnais dans \(\sin x\cos^2 x\) une expression de la forme \(k\,u'(x)\,u(x)^2\), où \(k\) est un réel, puis détermine une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(x\mapsto\sin x\cos^2 x\).

3) Donne l'ensemble des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), puis détermine la primitive \(F\) de \(f\) qui s'annule en 0.

4) Calcule les valeurs exactes de \(F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et de \(F(\pi)\).

5) Soit \(G\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(G(x)=x-\sin x\cos x-\dfrac{\cos^3 x}{3}\). Démontre, en calculant \(G'(x)\), que \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Que vaut alors \(F(x)-G(x)\) ? Justifie sans calcul, puis vérifie.

6) Démontre que \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\) de \([0\,;\pi]\). Déduis-en le sens de variation de \(F\) sur \([0\,;\pi]\), puis un encadrement de \(F(x)\) sur cet intervalle.

Un autobus quitte un arrêt à l'instant \(t=0\) et roule en ligne droite. Tant que le chauffeur ne freine pas, sa vitesse à l'instant \(t\), en mètres par seconde, est \(v(t)=20-\dfrac{2000}{(t+10)^2}\), où \(t\) est en secondes. On note \(d(t)\) la distance, en mètres, parcourue depuis le départ à l'instant \(t\) ; on rappelle que la vitesse est la dérivée de la distance parcourue et que l'accélération est la dérivée de la vitesse.

1) Calcule \(v(0)\), puis l'accélération \(v'(t)\). Donne le sens de variation de \(v\) sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) et sa limite en \(+\infty\), puis interprète ces résultats.

2) Détermine \(d(t)\), sachant que \(d\) est la primitive de \(v\) qui s'annule en 0. Démontre que \(d(t)=\dfrac{20t^2}{t+10}\).

3) À quel instant l'autobus a-t-il parcouru 100 mètres ? Quelle est alors sa vitesse, en mètres par seconde puis en kilomètres par heure ?

4) À l'instant \(t=10\), le chauffeur aperçoit un troupeau qui traverse la route et freine : à partir de cet instant, l'accélération est constante, égale à \(-3\) mètres par seconde au carré. Détermine la nouvelle vitesse \(w(t)\) pour \(t\geq 10\), puis l'instant où l'autobus s'immobilise.

5) Pendant le freinage, on note \(D(t)\) la distance parcourue depuis le départ : \(D\) est la primitive de \(w\) qui prend en 10 la valeur 100. Détermine \(D(t)\). Le troupeau traverse la route à 140 mètres du point de départ : l'autobus s'immobilise-t-il à temps ? Interprète.

Une coopérative fabrique du savon. Pour une production de \(q\) centaines de kilogrammes, avec \(0\leq q\leq 40\), le coût marginal, en dizaines de milliers de francs par centaine de kilogrammes, est \(C_m(q)=2+\dfrac{6}{\sqrt{2q+1}}\). Le coût total \(C(q)\), en dizaines de milliers de francs, est la primitive de \(C_m\) qui vérifie \(C(0)=12\) (frais fixes). Chaque centaine de kilogrammes est vendue 5 dizaines de milliers de francs. On admet que les fonctions utilisées sont dérivables sur \([0\,;40]\).

1) Calcule \(C_m'(q)\) et donne le sens de variation de \(C_m\) sur \([0\,;40]\). Calcule \(C_m(0)\) et \(C_m(12)\), puis interprète.

2) Détermine \(C(q)\), puis calcule le coût total d'une production de 1 200 kilogrammes.

3) Le bénéfice est \(B(q)=5q-C(q)\). Démontre que \(B(q)=3q-6\sqrt{2q+1}-6\), calcule \(B'(q)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(B\) sur \([0\,;40]\).

4) Démontre que l'équation \(B(q)=0\) admet une unique solution dans \([0\,;40]\), puis calcule cette solution en résolvant l'équation. Interprète.

5) Calcule \(B(24)\). Pour quelles productions le bénéfice est-il d'au moins 240 000 francs ? Justifie.