Nombres complexes

Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base

On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.

2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.

3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.

Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie

On donne $z = 3 - 4i$.

1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.

2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.

3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.

4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.

Exercice 1 — Forme exponentielle

Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :

1. $z_1=1+i$  2. $z_2=-\sqrt{3}+i$  3. $z_3=-2i$

Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$

Exercice 2 — De Moivre

$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$

1. $(1+i)^8$  2. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)^{12}$  3. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ : exprimer $\cos3\theta$, $\sin3\theta$.

Exercice 3 — Division de nombres complexes

On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.

On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.

1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.

2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.

3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.

4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.

Exercice 4 — Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

1. $z^2 + 4 = 0$

2. $z^2 - 2z + 5 = 0$

3. $2z^2 + z + 1 = 0$

Pour chacune, calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -|\Delta|$ et utiliser $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.

Exercice 3 — Trigonométrie via De Moivre

1. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ : $\cos4\theta$ et $\sin4\theta$.

2. Exprimer $\cos4\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.

3. Montrer $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$.

4. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$.

Exercice 4 — Racines $n$-ièmes de l'unité

Les $n$ racines de $z^n=1$ sont $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k=0,\ldots,n-1$.

1. 4 racines de $z^4=1$  2. Racines cubiques — somme nulle  3. Géométrie  4. $z^6=-64$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac

On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.

1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.

3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.

5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.

Exercice 6 — Équations et lieu géométrique — niveau Bac

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe ($x, y \in \mathbb{R}$).

Partie A — Équation dans $\mathbb{C}$

1. Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$. (Poser $z = a+ib$ et identifier les parties réelle et imaginaire.)

2. En déduire les solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$ dans $\mathbb{C}$, où $Z \in \mathbb{C}$.

Partie B — Lieu géométrique

3. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.

4. Quelle est la nature de cet ensemble ? Le tracer dans le plan.

5. Déterminer l'ensemble des points tels que $|z - 2| \leq 3$. Nature géométrique ?

Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$

$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.

On veut résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) : \(z^4+(3+2i)z^2+8-6i=0\). Pour cela, on étudie d'abord l'équation \((E')\) : \(Z^2+(3+2i)Z+8-6i=0\), d'inconnue le nombre complexe \(Z\).

1) On cherche les nombres complexes \(\delta=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) réels, tels que \(\delta^2=-27+36i\). Démontre que \(x^2-y^2=-27\), \(xy=18\) et \(x^2+y^2=45\), puis détermine les deux nombres \(\delta\) qui conviennent.

2) Calcule le discriminant de l'équation \((E')\), puis résous \((E')\). On notera \(Z_1\) la solution imaginaire pure et \(Z_2\) l'autre solution.

3) Écris \(Z_1\) sous forme exponentielle et déduis-en ses deux racines carrées, sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. Détermine ensuite, par la méthode de la question 1, les racines carrées de \(Z_2\).

4) Justifie qu'un nombre complexe \(z\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z^2=Z_1\) ou \(z^2=Z_2\), puis donne l'ensemble des solutions de \((E)\).

5) Vérifie que la somme des quatre solutions de \((E)\) est nulle et que leur produit est égal à \(8-6i\). Explique pourquoi la valeur de ce produit était prévisible à partir de la question 2.

Dans tout l'exercice, \(x\) désigne un nombre réel. On rappelle la formule du binôme : \((a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\), et les formules d'Euler : \(\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), \(\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\).

1) En développant \((\cos x+i\sin x)^5\) et en utilisant la formule de Moivre, démontre que \(\sin 5x=5\cos^4x\,\sin x-10\cos^2x\,\sin^3x+\sin^5x\), puis que \(\sin 5x=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x\).

2) À l'aide des formules d'Euler, démontre que \(\sin^5x=\dfrac{\sin 5x-5\sin 3x+10\sin x}{16}\).

3) En combinant les résultats des questions 1 et 2, démontre que \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\).

4) Résous dans l'intervalle \(\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) l'équation \(\sin 5x=0\). Déduis-en, à l'aide de la question 1, que les nombres \(\sin^2\dfrac{\pi}{5}\) et \(\sin^2\dfrac{2\pi}{5}\) sont les deux solutions de l'équation \(16t^2-20t+5=0\).

5) Résous cette équation et donne, en justifiant, les valeurs exactes de \(\sin^2\dfrac{\pi}{5}\) et de \(\sin^2\dfrac{2\pi}{5}\).

6) Déduis-en la valeur exacte du produit \(\sin\dfrac{\pi}{5}\times\sin\dfrac{2\pi}{5}\), puis celle du produit \(P=\sin\dfrac{\pi}{5}\times\sin\dfrac{2\pi}{5}\times\sin\dfrac{3\pi}{5}\times\sin\dfrac{4\pi}{5}\).

Au seizième siècle, le mathématicien Bombelli a résolu l'équation \(x^3=15x+4\), d'inconnue réelle \(x\), en calculant avec des nombres « impossibles » dont le cube vaut \(2+11i\) ou \(2-11i\). On reprend ici son idée. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\).

1) Calcule \((2+i)^2\), puis \((2+i)^3\). Calcule le module de \(2+i\) et celui de \(2+11i\), et vérifie que ces deux modules sont cohérents avec ton calcul.

2) On pose \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\). Écris \(j\) et \(j^2\) sous forme algébrique, puis démontre que \(j^3=1\), que \(j^2=\overline{j}\) et que \(1+j+j^2=0\).

3) Démontre qu'un nombre complexe \(z\) vérifie \(z^3=2+11i\) si et seulement si \(\dfrac{z}{2+i}\) est une racine cubique de l'unité. Déduis-en les trois racines cubiques de \(2+11i\), sous forme algébrique. On les notera \(z_0=2+i\), \(z_1\) et \(z_2\).

4) On note \(M_0\), \(M_1\) et \(M_2\) les points images de \(z_0\), \(z_1\) et \(z_2\). Démontre que ces trois points sont sur un même cercle de centre \(O\), dont tu donneras le rayon. Explique comment placer \(M_1\) et \(M_2\) sur ce cercle une fois \(M_0\) placé, puis calcule \(z_0+z_1+z_2\).

5) Soit \(u\) l'une quelconque des trois racines cubiques de \(2+11i\). On pose \(x=u+\overline{u}\). Démontre que \(x\) est un nombre réel, que \(u\,\overline{u}=5\), puis que \(x^3=15x+4\).

6) Déduis-en trois solutions réelles de l'équation \(x^3-15x-4=0\). Contrôle ce résultat en factorisant \(x^3-15x-4\) par \(x-4\).

Sur la carte d'une commune rurale, chaque lieu est repéré par son affixe dans un repère orthonormé direct ; l'unité de longueur est le kilomètre. Deux villages sont aux points \(A\) et \(B\) d'affixes \(a=1+i\) et \(b=7+3i\), le château d'eau est au point \(C\) d'affixe \(c=-5-i\) et le marché au point \(D\) d'affixe \(d=2i\). On veut creuser un forage en un point \(F\) d'affixe \(z=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) réels, qui respecte trois conditions : il est à égale distance des deux villages ; il est à exactement 10 kilomètres du château d'eau, longueur de la conduite disponible ; il est au bord de la piste rectiligne qui part du marché, formée des points \(M\) d'affixe \(z\) tels que \(\arg(z-2i)=\dfrac{\pi}{4}\) à un multiple de \(2\pi\) près.

1) Traduis la première condition par une égalité de modules. Quelle est la nature de l'ensemble \((E_1)\) des points qui la vérifient ? Démontre qu'une équation de \((E_1)\) est \(3x+y=14\).

2) Traduis la deuxième condition par une égalité portant sur \(z\). Quelle est la nature de l'ensemble \((E_2)\) des points qui la vérifient ? Donne une équation de \((E_2)\).

3) Détermine les affixes des points communs à \((E_1)\) et à \((E_2)\).

4) On note \((E_3)\) l'ensemble des points de la piste. Démontre qu'un point \(M\) d'affixe \(x+iy\) appartient à \((E_3)\) si et seulement si \(y=x+2\) et \(x\gt 0\). Quelle est la nature de \((E_3)\) ?

5) Déduis-en l'affixe du point \(F\). Calcule ensuite la distance du forage à chacun des deux villages, puis au marché, et donne une valeur approchée de ces distances à 10 mètres près.