Nombres complexes et géométrie du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$   b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$   c) la rotation de centre $O$, angle $115°$   d) une translation

2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$   b) la rotation de centre $O$, angle $110°$   c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$   d) une homothétie

3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$   b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$   c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$   d) $(x;y)\mapsto(y;x)$

4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances   b) uniquement les angles   c) les distances et les angles   d) rien de particulier

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$   b) $(6;10)$   c) $(4;10)$   d) $(-4;-6)$

3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$   b) $(8;2)$   c) $(2;2)$   d) $(4;2)$

4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$   b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$   c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$   d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$   b) $x+3y=0$   c) $3x+y-5=0$   d) $x-3y+5=0$

2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles   b) orthogonales   c) sécantes non perpendiculaires   d) nécessairement confondues

3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$   b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$   c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$   d) $\Omega(2;3)$, $r=4$

4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$   b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$   c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$   d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$   b) $-6$   c) $1{,}5$   d) $9$

2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité   b) une symétrie centrale   c) une rotation   d) une translation

3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre   b) une symétrie orthogonale   c) une translation   d) l'identité

4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$   b) $(5;8)$   c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$   d) $(-6;-15)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.

Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?

Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.

1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?

Exercice 5 — Similitude : $f(z)=(1+i)z+2-i$

1. Rapport $k$, angle  2. Point fixe $\Omega$  3. $f(1+2i)$  4. Image de $|z-1|=2$  5. $f\circ f$

Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$

$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.

Exercice 6 — Cocyclicité d'un rectangle

Soit $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(4\,;3)$, $D(0\,;3)$. Montrer que ces quatre points sont cocycliques et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.

Exercice 6 — Image d'un cercle

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.

1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.

Problème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.

Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.

Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?

Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.

Problème.

Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.

Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).

Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On note \(S\) la transformation du plan qui, à tout point \(M\) d'affixe \(z\), associe le point \(M'\) d'affixe \(z'=(1+i)z+2-4i\). On note \(A\) le point d'affixe 2.

On donne \(\ln 2\approx 0{,}693\) et \(\ln 10\approx 2{,}303\).

1) Justifie que \(S\) est une similitude directe, puis détermine son rapport, son angle et l'affixe \(\omega\) de son centre \(\Omega\).

2) Démontre que, pour tout nombre complexe \(z\), on a \(z'-z=i(z-\omega)\). Déduis-en que, pour tout point \(M\) distinct de \(\Omega\), le triangle \(\Omega MM'\) est rectangle et isocèle en \(M\).

3) On note \(x+iy\) et \(x'+iy'\) les formes algébriques de \(z\) et de \(z'\). Exprime \(x'\) et \(y'\) en fonction de \(x\) et de \(y\), puis détermine l'image par \(S\) de la droite \((D)\) d'équation \(x+y-4=0\).

4) Détermine, en justifiant, l'image par \(S\) du cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(A\) et de rayon 2.

5) On définit une suite de points par \(M_0=A\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(M_{n+1}=S(M_n)\). On pose \(d_n=\Omega M_n\). Démontre que la suite \((d_n)\) est géométrique, exprime \(d_n\) en fonction de \(n\), puis détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(d_n\gt 1000\).

6) Démontre que les points \(\Omega\), \(A\) et \(M_n\) sont alignés si et seulement si \(n\) est un multiple de 4, puis calcule l'affixe du point \(M_4\).

Un atelier de menuiserie métallique met au point le mécanisme d'un portail. Le plan de montage est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), l'unité étant le décimètre. Un galet \(P\) coulisse dans une glissière rectiligne représentée par le segment \([AB]\), où \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A=2\) et \(z_B=2+6i\) : l'affixe de \(P\) est \(z_P=2+it\), où \(t\) est un réel de l'intervalle \([0\,;6]\). Une équerre rigide pivote autour du point \(O\) et relie le galet \(P\) à une articulation \(Q\), de sorte que \(Q\) est l'image de \(P\) par la rotation \(r\) de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\). Un capteur est fixé au milieu \(I\) du segment \([PQ]\).

1) Donne l'écriture complexe de \(r\), exprime l'affixe \(z_Q\) de \(Q\) en fonction de \(t\), puis précise, en justifiant, la nature du triangle \(OPQ\).

2) Détermine le lieu géométrique de l'articulation \(Q\) lorsque le galet \(P\) décrit la glissière \([AB]\). On notera \(A'\) et \(B'\) les images de \(A\) et de \(B\) par \(r\). Démontre, à l'aide d'un quotient de nombres complexes, que les droites \((A'B')\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.

3) Démontre que l'affixe de \(I\) est \(z_I=\dfrac{1+i}{2}\,z_P\). Déduis-en que \(I\) est l'image de \(P\) par une similitude directe \(s\) dont tu préciseras le centre, le rapport et l'angle.

4) Détermine le lieu géométrique du capteur \(I\) lorsque \(P\) décrit \([AB]\), puis calcule la longueur du trajet parcouru par le capteur.

5) Détermine la position du galet \(P\) pour laquelle le capteur \(I\) se trouve sur l'axe des ordonnées. Dans cette position, détermine l'affixe du point \(K\) tel que \(OPKQ\) soit un parallélogramme, démontre que \(OPKQ\) est un carré et calcule son aire.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_A=-4+2i\), \(z_B=-2-2i\), \(z_C=5-i\) et \(z_D=4+6i\).

1) Calcule le quotient \(\dfrac{z_B-z_C}{z_D-z_C}\) sous forme algébrique, puis déduis-en la nature du triangle \(BCD\).

2) Détermine, en justifiant, l'affixe du centre \(\Omega\) et le rayon du cercle \((\Gamma)\) circonscrit au triangle \(BCD\).

3) Calcule le quotient \(\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_A}\). Déduis-en la nature du triangle \(ABD\), puis démontre que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont cocycliques.

4) On pose \(q_1=\dfrac{z_C-z_A}{z_D-z_A}\) et \(q_2=\dfrac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\). Calcule \(q_1\), \(q_2\) puis \(\dfrac{q_1}{q_2}\) sous forme algébrique. Explique en quoi ce dernier résultat confirme la conclusion de la question 3, puis interprète géométriquement l'argument commun de \(q_1\) et de \(q_2\).

5) Détermine l'affixe du point \(F\) tel que \(BCDF\) soit un parallélogramme. Justifie que \(BCDF\) est un carré, que \(F\) appartient au cercle \((\Gamma)\), puis calcule l'aire de ce carré.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\). On considère la transformation \(h\) d'écriture complexe \(z'=-2z+3\) et la transformation \(r\) d'écriture complexe \(z'=iz+4\). On note \(s\) la transformation obtenue en appliquant d'abord \(h\), puis \(r\) : pour tout point \(M\), \(s(M)=r(h(M))\).

1) Détermine, en justifiant, la nature et les éléments caractéristiques de \(h\), puis ceux de \(r\). On notera \(A\) le centre de \(h\) et \(B\) celui de \(r\).

2) Détermine l'écriture complexe de \(s\). Justifie que \(s\) est une similitude directe et détermine son rapport, son angle et l'affixe de son centre \(C\).

3) Explique comment le rapport et l'angle de \(s\) pouvaient être prévus à partir de ceux de \(h\) et de \(r\), puis interprète l'effet de \(s\) sur une figure.

4) On note \(s'\) la transformation obtenue en appliquant d'abord \(r\), puis \(h\). Détermine l'écriture complexe de \(s'\) et l'affixe de son centre \(D\). Les transformations \(s\) et \(s'\) sont-elles égales ? Justifie.

5) Détermine l'écriture complexe de la transformation obtenue en appliquant deux fois de suite \(s\), puis donne sa nature et ses éléments caractéristiques.

6) On note \(E\) l'image de \(A\) par \(s\). Calcule l'affixe de \(E\), démontre que le triangle \(CAE\) est rectangle en \(C\) avec \(CE=2\,CA\), puis calcule son aire.