Limites et continuité

Exercice 1 — Domaine de définition d'une fonction

Déterminer le domaine de définition $D_f$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$

2. $g(x) = \sqrt{2x - 6}$

Exercice 2 — Prolongement par continuité

Soit $g(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$. Déterminer le prolongement par continuité de $g$ en $0$.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un chauffeur de taxi-brousse sait que la consommation de son véhicule est comprise entre $7{,}5$ et $8{,}2$ litres aux $100$ km selon l'état de la route, et que le prix du litre d'essence varie entre $750$ et $780$ F selon la station-service.

Consigne : En utilisant les propriétés des encadrements de réels strictement positifs, encadrer le coût en carburant pour un trajet de $100$ km, puis en déduire un encadrement du coût pour un trajet de $250$ km.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 6 — Prolongement puis image d'un intervalle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$. Déterminer le prolongement par continuité $\tilde f$ de $f$ en $1$, puis calculer $\tilde f([-2\,;1])$.

Exercice 5 — Domaine et limites

Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[0\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=x^{\frac{2}{3}}-4x^{\frac{1}{3}}\), où \(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\) est la racine cubique de \(x\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère \((O, I, J)\).

1) Calcule \(f(8)\), \(f(27)\), \(f(64)\) et \(f(125)\), en détaillant le calcul des puissances.

2) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis celle de \(\dfrac{f(x)}{x}\) en \(+\infty\). Interprète graphiquement ces deux résultats.

3) On pose \(h(x)=x^{\frac{1}{3}}\) et \(g(t)=t^2-4t\). Vérifie que \(f\) est la composée de \(h\) suivie de \(g\), puis démontre, sans calculer de dérivée, que \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\left[8\,;+\infty\right[\).

4) Démontre que \(f\) réalise une bijection de \(\left[8\,;+\infty\right[\) sur un intervalle \(K\) que tu préciseras. Donne le sens de variation de la bijection réciproque \(f^{-1}\), ainsi que \(f^{-1}(0)\) et \(f^{-1}(5)\).

5) Soit \(y\) un réel de \(K\). En posant \(t=x^{\frac{1}{3}}\), résous l'équation \(f(x)=y\) dans \(\left[8\,;+\infty\right[\) et déduis-en l'expression de \(f^{-1}(y)\). Contrôle ta formule avec les valeurs de la question 1.

Un groupement de maraîchères dépose 200 000 francs au début de chaque année, pendant trois ans, sur un compte à intérêts composés : à la fin de chaque année, la somme présente sur le compte est multipliée par \(x=1+t\), où \(t\) est le taux annuel. À la fin de la troisième année, le groupement veut disposer d'au moins 700 000 francs pour acheter une motopompe. On pose \(g(x)=x^3+x^2+x-3{,}5\).

1) Démontre que la somme disponible à la fin de la troisième année est, en francs, \(200\,000\left(x^3+x^2+x\right)\). Déduis-en que cette somme vaut exactement 700 000 francs si et seulement si \(g(x)=0\).

2) Démontre, sans calculer de dérivée, que \(g\) est continue et strictement croissante sur \([1\,;2]\). Calcule \(g(1)\) et \(g(2)\), puis démontre que l'équation \(g(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) dans \(\left]1\,;2\right[\).

3) Par balayage, d'abord avec un pas de \(0{,}1\), puis avec un pas de \(0{,}01\), détermine un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}01\).

4) Applique une étape de la méthode de dichotomie à l'intervalle obtenu à la question 3. Interprète le nouvel encadrement de \(\alpha\) en termes de taux annuel.

5) La caisse d'épargne propose un taux annuel de 6 %. Calcule la somme alors disponible à la fin de la troisième année. L'objectif est-il atteint ? Sinon, quel dépôt annuel, arrondi au franc supérieur, faudrait-il prévoir avec ce taux ?

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{\sin(\pi x)}{x^2-1}\). On rappelle que \(\lim\limits_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1\).

1) Détermine l'ensemble de définition \(D\) de \(f\), puis étudie la parité de \(f\).

2) Démontre que, pour tout \(x\gt 1\), \(-\dfrac{1}{x^2-1}\leq f(x)\leq\dfrac{1}{x^2-1}\). Déduis-en la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis en \(-\infty\), et interprète graphiquement.

3) On pose \(x=1+h\), avec \(h\) non nul et proche de 0. Démontre que \(f(1+h)=-\dfrac{\sin(\pi h)}{\pi h}\times\dfrac{\pi}{h+2}\), puis détermine la limite de \(f\) en 1.

4) Déduis de la question 3 et de la parité la limite de \(f\) en \(-1\). Définis alors une fonction \(g\), continue sur \(\mathbb{R}\), qui coïncide avec \(f\) sur \(D\).

5) Calcule \(g(0)\), \(g\left(\dfrac{1}{6}\right)\) et \(g\left(\dfrac{1}{2}\right)\). Démontre que l'équation \(g(x)=-1\) a au moins une solution dans l'intervalle \(\left]\dfrac{1}{6}\,;\dfrac{1}{2}\right[\). Le théorème utilisé permet-il, à lui seul, d'affirmer que cette solution est unique ?

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé et \(\Delta\) la droite d'équation \(y=x+1\).

1) Détermine les limites de \(f\) à gauche et à droite en 1, puis en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Quelle asymptote à \(\mathcal{C}\) peux-tu en déduire ?

2) Démontre que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\). Déduis-en que la droite \(\Delta\) est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), et précise la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(\Delta\).

3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Détermine l'image par \(f\) de chacun des intervalles \(\left]-\infty\,;1\right[\) et \(\left]1\,;+\infty\right[\). Déduis-en, suivant la valeur du réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\).

5) On note \(k\) la restriction de \(f\) à l'intervalle \(\left[3\,;+\infty\right[\). Démontre que \(k\) réalise une bijection de \(\left[3\,;+\infty\right[\) sur un intervalle que tu préciseras, donne le sens de variation de \(k^{-1}\), puis calcule \(k^{-1}(7)\).