Terminale D · Leçon 5
Fonctions logarithmes
Exercices corrigés
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Exercice 1 — Propriétés du logarithme
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$
3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$
Voir le corrigé
- $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$ : $$A = \ln(6 \times 5) - \ln 30 = \ln 30 - \ln 30 = \boxed{0}$$
- $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\frac{1}{2}$ : $$B = \ln 8 - \ln 4 + \ln 2^{-1} = \ln\frac{8}{4} - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = \boxed{0}$$
- $C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$ : $$C = 3\ln e + (-1)\ln e = 3 - 1 = \boxed{2}$$
Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et de $\dfrac{u'}{u}$
Exercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$
On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.
1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$
Voir le corrigé
- $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ : $\boxed{3\ln x + C}$ (sur $]0\,;+\infty[$)
- $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx$ : Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+5$, $u'=2x$ → $\boxed{\ln(x^2+5)+C}$
- $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ : Poser $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$ → $\displaystyle\int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
Voir le corrigé
- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Dérivée et variations de fonctions logarithmiques
Exercice 3 — Dérivée et variations
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.
Voir le corrigé
- Dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
- Tableau de variations :
Sur $]0\,;\,2[$ : $f'<0$ → décroissante · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'>0$ → croissante
Minimum en $x=2$. - Minimum :
$f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$
Donc $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x=2$.
Étude de $f(x) = x^2 \ln x$ — variations et intégration
Exercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)
2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.
3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.
4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.
Voir le corrigé
- Limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$ (admis). On prolonge $f$ par $f(0)=0$.
- Dérivée : $u=x^2$, $v=\ln x$ → $u'=2x$, $v'=\frac{1}{x}$ $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x+1)$$
- Variations :
$f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
Minimum : $f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}$ - Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x^2$ → $v=\frac{x^3}{3}$ $$\int_1^e x^2\ln x\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e x^2\,dx = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3-1}{9} = \boxed{\frac{2e^3+1}{9}}$$
Étude de $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$ — niveau Bac
Exercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.
3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.
4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. L'encadrer.
5. Dresser le tableau de signes de $f$.
Étude paramétrique et inégalités classiques — niveau Bac
Exercice 9 — Étude paramétrique et inégalités
Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.
2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.
3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.
4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.
5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.
Fonction auxiliaire, asymptote oblique et équation f(x) = 0
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(g(x)=x^2-2+2\ln x\) et \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-1-\dfrac{2\ln x}{x}\). On note \((\mathcal{C})\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
1) Étudie le sens de variation de \(g\) et calcule ses limites en 0 et en \(+\infty\). Démontre que l'équation \(g(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\), puis que \(1{,}2\lt\alpha\lt 1{,}3\). Donne le signe de \(g(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
2) Calcule les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\). Interprète graphiquement la limite en 0.
3) Démontre que, pour tout réel \(x\gt 0\), \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\). Dresse le tableau de variation de \(f\).
4) Démontre que \(f(\alpha)=2\alpha-1-\dfrac{2}{\alpha}\). Calcule \(f(1)\) et justifie que \(f(\alpha)\lt 0\).
5) Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x-1\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(+\infty\), puis étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\).
6) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions : le nombre 1 et un réel \(\beta\) tel que \(1{,}5\lt\beta\lt 1{,}6\). Déduis-en le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).
Équations et inéquations avec le logarithme népérien
On pose, pour tout réel \(X\), \(P(X)=2X^3+X^2-13X+6\).
1) Calcule \(P(2)\), puis détermine les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(P(X)=(X-2)(aX^2+bX+c)\) pour tout réel \(X\). Résous l'équation \(P(X)=0\) et dresse le tableau de signes de \(P(X)\).
2) Résous dans \(]0\,;+\infty[\) l'équation \(2(\ln x)^3+(\ln x)^2-13\ln x+6=0\).
3) Résous dans \(]0\,;+\infty[\) l'inéquation \(2(\ln x)^3+(\ln x)^2-13\ln x+6\gt 0\).
4) Détermine l'ensemble de définition de l'équation \((E)\) : \(\ln(x-3)+\ln(x+1)=\ln 5\), puis résous-la.
5) Détermine l'ensemble de définition de l'équation \((E')\) : \(\ln|x-3|+\ln|x+1|=\ln 5\), puis résous-la. Explique pourquoi \((E)\) et \((E')\) n'ont pas le même ensemble de solutions.
6) Résous l'inéquation \(\ln(x-3)+\ln(x+1)\leq\ln 5\).
Essai de pompage sur un forage : débit et volume d'eau
Dans un village, on réalise un essai de pompage sur un nouveau forage. Le débit de la pompe, en mètres cubes par heure, \(t\) heures après la mise en marche, est modélisé par la fonction \(q\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(q(t)=\dfrac{60t}{t^2+9}\). On admet que le volume d'eau pompé depuis la mise en marche, en mètres cubes, est \(V(t)\), où \(V\) est la primitive de \(q\) sur \([0\,;+\infty[\) qui s'annule en 0.
1) Calcule \(q'(t)\), étudie son signe, calcule la limite de \(q\) en \(+\infty\) et dresse le tableau de variation de \(q\). Quel est le débit maximal et à quel instant est-il atteint ?
2) Résous dans \([0\,;+\infty[\) l'inéquation \(q(t)\geq 6\). Interprète le résultat.
3) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(V(t)=30\ln\left(\dfrac{t^2+9}{9}\right)\).
4) Calcule la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième, du volume pompé pendant les trois premières heures, puis du volume pompé entre les instants \(t=1\) et \(t=9\).
5) Le château d'eau du village a une capacité de 60 mètres cubes ; il est vide au départ. Au bout de combien de temps est-il plein ? Donne la valeur exacte à l'aide du nombre \(e\), puis une valeur approchée en heures et minutes.
6) Détermine la limite de \(V\) en \(+\infty\). Calcule le temps nécessaire pour pomper 120 mètres cubes et compare-le au résultat de la question 5. Interprète.
Nombre de chiffres, bactéries et logarithme décimal
On note \(\log\) la fonction logarithme décimal, définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\). On donne \(\log 2\approx 0{,}30103\), \(\log 3\approx 0{,}47712\) et \(\log 0{,}65\approx -0{,}18709\).
1) Démontre que la fonction \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), que \(\log(ab)=\log a+\log b\) pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\), et que \(\log\left(10^n\right)=n\) pour tout entier relatif \(n\).
2) Soit \(N\) un entier naturel non nul dont l'écriture décimale comporte \(p\) chiffres. Justifie que \(10^{p-1}\leq N\lt 10^p\), puis démontre que \(p-1\leq\log N\lt p\).
3) Déduis-en le nombre de chiffres de \(2^{50}\), puis celui de \(6^{40}\).
4) Dans un laboratoire, une culture contient 500 bactéries à l'instant initial et ce nombre double chaque heure. On note \(u_n\) le nombre de bactéries au bout de \(n\) heures. Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\), puis détermine au bout de combien d'heures la culture compte pour la première fois au moins \(10^{12}\) bactéries.
5) On verse un antibiotique dans une culture de \(10^{12}\) bactéries : chaque heure, 35 % des bactéries présentes sont détruites. On note \(v_n\) le nombre de bactéries restantes au bout de \(n\) heures. Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\), puis détermine au bout de combien d'heures il reste pour la première fois moins de 1000 bactéries. Explique à quel moment du calcul le sens de l'inégalité change.