Fonctions exponentielles et fonctions puissances

Exercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées

En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :

1. $f(x) = e^{3x+2}$

2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$

3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations complet.

4. Équation de la tangente en $x = 0$.

Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac

Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).

On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.

2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.

3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.

4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.

5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?

Exercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle

La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.

1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)

2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.

3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?

4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.

5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.

Exercice 12 — Comparaisons de croissance

Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.

3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.

4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.

Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie

$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.

1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.

2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.

3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.

4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?

5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{2x}-3e^x+x\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2) Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\). Étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((D)\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(2e^x-1)(e^x-1)\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\), avec les valeurs exactes des extremums locaux.

4) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), et que \(0{,}9\lt\alpha\lt 1\).

5) Démontre qu'il existe un unique point \(A\) de \((\mathcal{C})\) en lequel la tangente \((T)\) est parallèle à \((D)\). Donne les coordonnées de \(A\) et une équation de \((T)\).

6) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)-\left(x-\dfrac{9}{4}\right)=\left(e^x-\dfrac{3}{2}\right)^2\). Que peux-tu en déduire pour \((\mathcal{C})\) et \((T)\) ?

La jacinthe d'eau est une plante flottante qui envahit certains plans d'eau. Sur une retenue, la surface couverte par cette plante, en mètres carrés, \(t\) semaines après le début des observations, est modélisée par la fonction \(S\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(S(t)=\dfrac{1200}{1+5e^{-0{,}5t}}\).

1) Calcule \(S(0)\) et la limite de \(S\) en \(+\infty\). Interprète ces deux résultats.

2) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(S'(t)=\dfrac{3000\,e^{-0{,}5t}}{\left(1+5e^{-0{,}5t}\right)^2}\). Déduis-en le sens de variation de \(S\).

3) Résous l'équation \(S(t)=600\), puis l'inéquation \(S(t)\geq 1000\). Donne les valeurs exactes, puis arrondies au dixième, et interprète.

4) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(S'(t)=\dfrac{S(t)\left(1200-S(t)\right)}{2400}\).

5) On pose \(h(y)=\dfrac{y(1200-y)}{2400}\) pour \(y\) dans \([200\,;1200[\). Détermine le maximum de \(h\) et la valeur de \(y\) pour laquelle il est atteint. Déduis-en l'instant où la plante s'étend le plus vite, ainsi que sa vitesse d'extension à cet instant. Interprète.

En biologie, une loi empirique relie la dépense d'énergie quotidienne d'un mammifère au repos à sa masse : un animal de masse \(m\) kilogrammes dépense environ \(E(m)=70\,m^{\frac{3}{4}}\) kilocalories par jour, pour \(m\gt 0\). On rappelle que, pour tout réel \(x\gt 0\) et tout réel \(a\), \(x^a=e^{a\ln x}\).

1) Calcule les valeurs exactes de \(E(16)\), \(E(81)\) et \(E(625)\), masses proches de celles d'un chien, d'un homme adulte et d'un bœuf.

2) Calcule \(E'(m)\) et donne le sens de variation de \(E\). On note \(d(m)=\dfrac{E(m)}{m}\) la dépense quotidienne par kilogramme : écris \(d(m)\) sous la forme \(k\,m^{a}\), puis étudie son sens de variation. Interprète ces deux résultats.

3) Résous l'équation \(E(m)=4480\), puis l'inéquation \(d(m)\leq 14\).

4) Démontre que, pour tous réels \(k\gt 0\) et \(m\gt 0\), \(E(km)=k^{\frac{3}{4}}E(m)\). Par quel nombre la dépense est-elle multipliée quand la masse est multipliée par 16 ? Par quel nombre faut-il multiplier la masse pour que la dépense double ? Donne la valeur exacte à l'aide d'une racine cubique, puis une valeur arrondie au centième.

5) On pose \(X=\ln m\) et \(Y=\ln E(m)\). Démontre que \(Y\) est une fonction affine de \(X\) et précise son coefficient directeur. Retrouve ce coefficient à partir des valeurs de \(E(16)\) et de \(E(625)\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\times 2^{-x}\), où \(2^{-x}=e^{-x\ln 2}\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Calcule la limite de \(f\) en \(-\infty\), puis la limite de \(f\) en \(+\infty\) en posant \(X=x\ln 2\). Interprète graphiquement cette dernière limite.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\left(1-x\ln 2\right)2^{-x}\). Dresse le tableau de variation de \(f\) et donne la valeur exacte de son maximum.

3) Calcule \(f(1)\) et \(f(2)\). Démontre que l'équation \(2^x=2x\) équivaut à \(f(x)=\dfrac{1}{2}\), puis qu'elle admet exactement deux solutions dans \(\mathbb{R}\).

4) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(2^x\geq 2x\) et interprète graphiquement le résultat.

5) Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(F\) définie par \(F(x)=(ax+b)\,2^{-x}\) soit une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en la primitive de \(f\) qui s'annule en 0.