Dérivabilité et étude de fonctions

Exercice 2 — Calcul de dérivées usuelles

Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$

2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.

Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

Exercice 3 — Sens de variation et tableau de variations

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$.

Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.

Exercice 3 — Dérivabilité à gauche et à droite

Soit $f(x) = |x-1|(x+2)$. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$.

Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)

Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.

Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus

On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis

En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.

Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF

Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+3}\) si \(x\leq 1\) et \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}\) si \(x\gt 1\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que \(f\) est dérivable sur \(\left]-\infty\,;1\right[\) et sur \(\left]1\,;+\infty\right[\).

1) Démontre que \(f\) est continue en 1.

2) À l'aide du taux d'accroissement, étudie la dérivabilité de \(f\) à gauche en 1, puis à droite en 1. La fonction \(f\) est-elle dérivable en 1 ? Donne une équation de chacune des deux demi-tangentes à \((C)\) au point \(A\) d'abscisse 1 et interprète graphiquement.

3) Calcule \(f'(x)\) sur \(\left]-\infty\,;1\right[\), puis sur \(\left]1\,;+\infty\right[\), et étudie son signe. Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variation de \(f\).

4) Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l'intervalle \(\left[1\,;+\infty\right[\). Démontre que \(g\) est une bijection de \(\left[1\,;+\infty\right[\) sur un intervalle \(J\) que tu préciseras. Quel est le sens de variation de sa bijection réciproque \(g^{-1}\) ? Calcule \(g(3)\), puis le nombre dérivé de \(g^{-1}\) en 3.

5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=3\), en traitant séparément les deux expressions de \(f\). Vérifie que le nombre de solutions est en accord avec le tableau de variation.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{6x}{x^2+3}\), et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère du plan d'origine \(O\). On admet que \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1) Démontre que \(f\) est impaire et interprète graphiquement. Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\) et précise l'asymptote à \((C)\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{6(3-x^2)}{(x^2+3)^2}\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f''(x)=\dfrac{12x(x^2-9)}{(x^2+3)^3}\). Étudie le signe de \(f''(x)\) et déduis-en que \((C)\) possède trois points d'inflexion, dont tu donneras les coordonnées.

4) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\) d'abscisse 3. Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)-\left(-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{9}{4}\right)=\dfrac{(x-3)^3}{4(x^2+3)}\), puis étudie la position de \((C)\) par rapport à \((T)\). Ce résultat est-il en accord avec la question 3 ?

5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=\dfrac{3}{2}\). Justifie, à l'aide du tableau de variation, que l'équation \(f(x)=2\) n'a aucune solution.

Un pêcheur est dans sa pirogue en un point \(P\) d'un lac, à 3 kilomètres du point \(H\) le plus proche de la rive, qui est rectiligne. Son campement \(C\) se trouve sur la rive, à 8 kilomètres de \(H\). Il rame à la vitesse de 3 kilomètres par heure, puis marche sur la rive à la vitesse de 5 kilomètres par heure. Il accoste en un point \(M\) du segment \([HC]\) et on pose \(HM=x\), en kilomètres, avec \(0\leq x\leq 8\). On note \(T(x)\) la durée totale du trajet, en heures. On admet que la fonction \(T\) est deux fois dérivable sur \([0\,;8]\).

1) Démontre que \(T(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\dfrac{8-x}{5}\).

2) Calcule \(T'(x)\), puis démontre que \(T''(x)=\dfrac{3}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}}\). Déduis-en le sens de variation de la fonction \(T'\) sur \([0\,;8]\).

3) Résous dans \([0\,;8]\) l'équation \(T'(x)=0\). Déduis-en le signe de \(T'(x)\), puis dresse le tableau de variation de \(T\).

4) Où le pêcheur doit-il accoster pour arriver le plus vite possible ? Donne la durée minimale du trajet en heures et minutes. Combien de minutes gagne-t-il par rapport à un accostage en \(H\) ? par rapport à un trajet effectué entièrement à la rame jusqu'à \(C\) (arrondis à la minute) ?

5) Vérifie que, pour le trajet le plus rapide, \(\dfrac{HM}{PM}\) est égal au rapport des deux vitesses. Si le campement était à 2 kilomètres seulement de \(H\), la durée serait \(\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\dfrac{2-x}{5}\) avec \(0\leq x\leq 2\) : quel serait alors le meilleur trajet ? Justifie avec le signe de la dérivée.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;\pi]\) par \(f(x)=2\sin x-x\). On admet que \(f\) est dérivable sur \([0\,;\pi]\). On donne \(1{,}73\lt\sqrt{3}\lt 1{,}74\) et \(3{,}14\lt\pi\lt 3{,}15\).

1) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variation de \(f\).

2) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \(\left]\dfrac{\pi}{3}\,;\pi\right[\). Calcule \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\), puis justifie que \(\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\dfrac{2\pi}{3}\).

3) Démontre que, pour tout \(x\) de l'intervalle \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right]\), \(-2\leq f'(x)\leq -1\).

4) En appliquant l'inégalité des accroissements finis à \(f\) sur l'intervalle \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\alpha\right]\), démontre que \(1+\dfrac{\pi}{4}\leq\alpha\leq 2\). Déduis-en un encadrement de \(\alpha\) par deux nombres décimaux.

5) Donne le signe de \(f(x)\) sur \([0\,;\pi]\). Déduis-en l'ensemble des solutions, dans \([0\,;\pi]\), de l'inéquation \(\sin x\geq\dfrac{x}{2}\) et interprète graphiquement ce résultat.