Calcul intégral

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Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.

Exercice 2 — Intégrale de $1/x$

Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

Exercice 3 — Intégration par parties

On rappelle la formule : $\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$

Calculer les intégrales suivantes :

1. $\displaystyle I = \int_0^1 xe^x\,dx$

2. $\displaystyle J = \int_1^e x\ln x\,dx$

Exercice 5 — Valeur moyenne et application physique

La température $T(t)$ (en °C) un jour de saison sèche est modélisée par :

où $t$ est le nombre d'heures après 6h du matin ($t=0$ correspond à 6h, $t=12$ à 18h).

1. Calculer $T(0)$, $T(6)$ et $T(12)$. À quelle heure fait-il le plus chaud ?

2. Calculer $T'(t)$. Vérifier que le maximum est bien atteint en $t = 6$.

3. Calculer la température moyenne $\bar{T}$ sur la période $[0\,;\,12]$ en utilisant :

4. La valeur moyenne $\bar{T}$ est-elle atteinte avant ou après le pic de chaleur ?

5. Calculer l'aire sous la courbe de $T$ sur $[0\,;\,12]$ et interpréter physiquement.

Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$

Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-1+(2x+1)e^{-x}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm, et \((D)\) la droite d'équation \(y=x-1\).

1) Détermine la limite de \(f(x)-(x-1)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Que peux-tu en déduire pour \((C)\) et \((D)\) ? Étudie ensuite la position de \((C)\) par rapport à \((D)\) sur \(\mathbb{R}\).

2) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout réel \(\lambda\), \(\int_{0}^{\lambda}(2x+1)e^{-x}\,dx=3-(2\lambda+3)e^{-\lambda}\).

3) Calcule, en unités d'aire puis en cm² (valeurs arrondies au centième), l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine délimité par \((C)\), \((D)\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=3\). Justifie d'abord que cette aire est bien donnée par une intégrale.

4) Pour tout réel \(\lambda\gt 0\), on note \(\mathcal{A}(\lambda)\) l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par \((C)\), \((D)\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=\lambda\). Démontre que \(\mathcal{A}(\lambda)\lt 3\), détermine la limite de \(\mathcal{A}(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\) et interprète ce résultat.

5) Calcule \(\int_{-1/2}^{0}(2x+1)e^{-x}\,dx\). Déduis-en, à l'aide de la relation de Chasles, l'aire en unités d'aire du domaine délimité par \((C)\), \((D)\) et la droite d'équation \(x=3\), à droite du point commun à \((C)\) et \((D)\) : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.

Un panneau solaire alimente la pompe d'un jardin maraîcher. Un jour sans nuage, la puissance qu'il fournit, en watts, est modélisée par \(P(t)=60-60\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), où \(t\) est le temps, en heures, écoulé depuis le lever du soleil, pour \(t\) dans \([0\,;12]\). L'énergie fournie entre deux instants \(a\) et \(b\), avec \(a\leq b\), est égale à \(\int_{a}^{b}P(t)\,dt\), en wattheures.

1) Calcule \(P'(t)\) et étudie les variations de \(P\) sur \([0\,;12]\). Quelle est la puissance maximale, et à quel instant est-elle atteinte ?

2) Détermine une primitive de \(P\) sur \([0\,;12]\), puis calcule l'énergie totale \(E\) fournie pendant la journée.

3) Calcule la valeur moyenne \(\mu\) de \(P\) sur \([0\,;12]\) et interprète-la. À l'aide de la question 1 et de l'inégalité de la moyenne, donne un encadrement de \(E\) et vérifie que la valeur trouvée le respecte.

4) La pompe ne tourne à plein régime que lorsque la puissance fournie est d'au moins 90 watts. Résous dans \([0\,;12]\) l'inéquation \(P(t)\geq 90\).

5) Calcule l'énergie \(E_1\) fournie pendant que la pompe tourne à plein régime : valeur exacte, puis valeur arrondie à l'unité. Quel pourcentage de \(E\) cela représente-t-il ? Commente ce résultat.

On considère la fonction \(F\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(F(x)=\int_{1}^{x}\dfrac{e^{t}}{t}\,dt\). On ne cherche pas à exprimer \(F(x)\) à l'aide des fonctions usuelles. On note \((C)\) la courbe représentative de \(F\) dans un repère.

1) Justifie que \(F\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et donne \(F'(x)\). Déduis-en le sens de variation de \(F\), la valeur de \(F(1)\), puis le signe de \(F(x)\).

2) Étudie les variations de la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(t)=e^{t}-et\) et déduis-en que, pour tout réel \(t\), \(e^{t}\geq et\). Démontre alors que, pour tout \(x\geq 1\), \(F(x)\geq e(x-1)\), puis détermine la limite de \(F\) en \(+\infty\).

3) Soit \(x\) un réel de \(]0\,;1]\). Démontre que \(\int_{x}^{1}\dfrac{e^{t}}{t}\,dt\geq-\ln x\), puis que \(F(x)\leq\ln x\). Déduis-en la limite de \(F\) en 0.

4) Étudie les variations de la fonction \(g\) définie sur \([1\,;2]\) par \(g(t)=\dfrac{e^{t}}{t}\). À l'aide de l'inégalité de la moyenne, déduis-en que \(e\leq F(2)\leq\dfrac{e^{2}}{2}\), puis donne un encadrement de \(F(2)\) par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule.

5) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d'abscisse 1. En étudiant la fonction \(H\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(H(x)=F(x)-e(x-1)\), précise la position de \((C)\) par rapport à \((T)\).

On pose \(J=\int_{0}^{\pi/2}e^{2x}\cos^{2}x\,dx\) et \(K=\int_{0}^{\pi/2}e^{2x}\sin^{2}x\,dx\). On ne cherche pas à calculer ces deux intégrales séparément. On rappelle que, pour tout réel \(x\), \(\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\) et \(\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x\). On pose aussi \(L=\int_{0}^{\pi/2}e^{2x}\cos 2x\,dx\) et \(M=\int_{0}^{\pi/2}e^{2x}\sin 2x\,dx\).

1) Justifie sans calcul que \(J\gt 0\) et \(K\gt 0\), puis calcule \(J+K\).

2) Démontre que \(J-K=L\).

3) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que \(L=-\dfrac{e^{\pi}+1}{2}+M\). À l'aide d'une seconde intégration par parties, démontre que \(M=-L\). Déduis-en les valeurs exactes de \(L\) et de \(M\).

4) Déduis des questions précédentes les valeurs exactes de \(J\) et de \(K\), puis leurs valeurs arrondies au centième.

5) Démontre, sans utiliser la question 4, que \(0\leq K\leq\dfrac{\pi}{2}\,e^{\pi}\). Calcule ensuite la valeur moyenne \(\mu\) de la fonction \(x\mapsto e^{2x}\sin^{2}x\) sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième. Est-elle bien comprise entre 0 et \(e^{\pi}\) ?