Statistiques à Deux Variables

Exercice 1 — Nuage de points et centre de gravité

Un lycée relève les notes de 8 élèves en Maths ($x$) et en Physique ($y$) :

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

2. Placer le nuage de points et le centre de gravité $G(\bar{x};\bar{y})$.

3. Que remarque-t-on visuellement ?

Exercice 2 — Régression linéaire

Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :

Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$   $b=\bar{y}-a\bar{x}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.

2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.

3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.

Exercice 3 — Coefficient de corrélation

Températures moyennes mensuelles ($x$, en °C) et consommation d'eau (en milliers de litres $y$) dans une ville :

Formule : $r=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$ avec $\sigma_x=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\overline{xy}$.

2. Calculer $r$. Interpréter.

3. Peut-on utiliser un ajustement linéaire ? Si oui, déterminer la droite de régression.

Exercice 4 — Production agricole

Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :

1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.

2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.

3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.

4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.

Exercice 5 — Croissance exponentielle d'une population

Population d'une ville (en milliers) observée sur 5 années :

1. Tracer le nuage $(x\,;\,y)$ et $(x\,;\,\ln y)$.

2. Montrer que le nuage $(x\,;\,\ln y)$ est quasi-linéaire. Trouver la droite de régression de $\ln y$ en $x$.

3. En déduire le modèle $y=A\cdot e^{kx}$ et estimer la population à $x=6$.

Exercice 6 — Ajustement puissance

Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :

1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$.  2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$.  3. Déduire $a$, $b$.  4. Prévision pour $x=600$.  5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.

Exercice 7 — Série chronologique et saisonnalité

Ventes trimestrielles (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 3 ans :

1. Tracer la série.  2. Calculer les moyennes mobiles d'ordre 4.  3. Droite de tendance sur les moyennes mobiles.  4. Coefficients saisonniers.  5. Prévision du trimestre 13.

Exercice 8 — Test χ² et tableau de contingence

Enquête sur 200 élèves : résultats au Bac (Admis/Ajourné) selon la filière (Scientifique / Littéraire / Technique) :

1. Calculer les effectifs théoriques $e_{ij}=\dfrac{(\text{total ligne}_i)\times(\text{total col}_j)}{n}$.

2. Calculer $\chi^2=\displaystyle\sum_{i,j}\dfrac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}$.

3. À l'aide de la table χ² (ddl=2, seuil 5% → valeur critique 5,99) : conclure sur l'indépendance.

Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :

Partie A — Ajustement linéaire

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.

2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.

Partie B — Ajustement exponentiel

3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.

4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?

Partie C — Application

5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?

Une coopérative agricole a testé huit doses d'engrais sur huit parcelles de maïs de même surface. On note \(x\) la dose apportée, en dizaines de kilogrammes par hectare, et \(y\) le rendement obtenu, en quintaux par hectare.

On donne les sommes suivantes, obtenues à la calculatrice : \(\sum x_i=36\), \(\sum y_i=268\), \(\sum x_i^2=204\), \(\sum y_i^2=9396\) et \(\sum x_iy_i=1332\).

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage.

2) Méthode de Mayer. On partage le nuage en deux groupes : les quatre premières parcelles, puis les quatre dernières. Calcule les coordonnées des points moyens \(G_1\) et \(G_2\) de ces deux groupes, détermine une équation de la droite \((G_1G_2)\) et vérifie que cette droite passe par \(G\).

3) Méthode des moindres carrés. Calcule la variance \(V(x)\) et la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\), puis démontre que la droite de régression \(D\) de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y=3x+20\).

4) Calcule la variance \(V(y)\), puis le coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Un ajustement affine est-il justifié ?

5) Pour une droite d'équation \(y=ax+b\), on note \(S\) la somme des carrés des écarts \(e_i=y_i-(ax_i+b)\). Pour la droite de Mayer, on trouve \(S=50{,}5\). Calcule \(S\) pour la droite \(D\) et interprète la comparaison des deux résultats.

6) Estime, avec chacune des deux droites, le rendement que donnerait une dose de 100 kilogrammes par hectare. Quel est l'écart entre les deux estimations ? Explique pourquoi ces estimations sont à prendre avec prudence.

Dans un repère du plan, on considère la série statistique double suivante.

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), puis la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\).

2) Détermine une équation de la droite de régression \(D\) de \(y\) en \(x\), sous la forme \(y=ax+b\).

3) Détermine une équation de la droite de régression \(D'\) de \(x\) en \(y\), sous la forme \(x=a'y+b'\), puis écris cette équation sous la forme \(y=mx+p\).

4) Démontre que \(G\) est le seul point commun aux droites \(D\) et \(D'\).

5) Démontre, à partir des formules donnant \(a\) et \(a'\), que \(a\times a'=r^2\), où \(r\) est le coefficient de corrélation linéaire. Déduis-en \(r\), arrondi au centième, et interprète ce résultat.

6) Estime la valeur de \(y\) correspondant à \(x=14\), puis la valeur de \(x\) correspondant à \(y=18\), en justifiant le choix de la droite utilisée dans chaque cas.

Les 40 élèves d'une classe ont suivi pendant un trimestre des séances de soutien en mathématiques. Pour chaque élève, on note \(x\) le nombre de séances suivies par semaine et \(y\) sa note au devoir de synthèse (les notes ont été regroupées autour de quatre valeurs). Le tableau donne le nombre d'élèves pour chaque couple de valeurs.

1) Dresse les deux distributions marginales (celle de \(x\) et celle de \(y\)), puis calcule les moyennes \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\).

2) Calcule les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), puis la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\), en tenant compte des effectifs.

3) Détermine une équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\), puis calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième.

4) Calcule la note moyenne de chacun des trois groupes d'élèves (une, deux ou trois séances par semaine). Vérifie que les trois points obtenus sont sur la droite de régression, puis interprète le coefficient directeur de cette droite et la valeur de \(r\).

5) On choisit au hasard un élève de la classe. On note \(A\) l'événement « l'élève a suivi trois séances par semaine » et \(B\) l'événement « l'élève a obtenu au moins 12 ». Calcule \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A\cap B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Calcule \(P_A(B)\) et commente.

Après une injection, on mesure toutes les deux heures la concentration d'un médicament dans le sang d'un patient. On note \(x\) le temps écoulé depuis la première mesure, en heures, et \(y\) la concentration, en milligrammes par litre.

1) Calcule les différences, puis les quotients, entre deux concentrations successives (quotients arrondis au centième). Justifie qu'un ajustement affine de \(y\) en \(x\) n'est pas adapté et qu'un modèle de la forme \(y=k\,e^{ax}\) est plus raisonnable.

2) On pose \(z=\ln y\). Calcule les cinq valeurs \(z_i\), arrondies au centième, puis les coordonnées du point moyen du nuage des points de coordonnées \((x_i\,;\,z_i)\).

3) Avec les valeurs arrondies de la question 2, calcule \(V(x)\) et \(\mathrm{cov}(x,z)\), puis démontre que la droite de régression de \(z\) en \(x\) a pour équation \(z=-0{,}15x+3\).

4) Déduis-en l'expression \(y=f(x)\) de la concentration en fonction du temps. Vérifie que \(f\) est solution de l'équation différentielle \(y'=-0{,}15y\), puis calcule \(\dfrac{f(x+2)}{f(x)}\) et interprète ce quotient.

5) Estime la concentration dix heures après la première mesure, arrondie au centième.

6) Le médicament reste efficace tant que sa concentration est d'au moins 2 milligrammes par litre. Pendant combien de temps, à partir de la première mesure, reste-t-il efficace selon ce modèle ?