Logarithme Népérien

Exercice 1 — Propriétés du logarithme

Simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$

2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$

3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$

Exercice 2 — Équations et inéquations

1. $\ln(2x - 1) = \ln 5$

2. $e^{3x-1} = e^5$

3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x - 4)$

Exercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$

On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.

1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$

2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$

3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$

Exercice 3 — Dérivée et variations

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.

1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.

Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations complet.

4. Équation de la tangente en $x = 0$.

Exercice 8 — Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$

1. $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$  (Poser $X = e^x$)

2. $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x - 3)$

3. $e^x > 2x + 1$

4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$

Exercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)

2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.

3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.

4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.

Exercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac

Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.

3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.

4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. L'encadrer.

5. Dresser le tableau de signes de $f$.

Exercice 9 — Étude paramétrique et inégalités

Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.

2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.

3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.

4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.

5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.

Exercice 12 — Comparaisons de croissance

Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.

3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.

4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.

Le bénéfice net quotidien d'un atelier, exprimé en centaines d'unités monétaires, lorsqu'il fonctionne pendant x heures est modélisé par la fonction

\[B(x)=x(2-\ln x)-2\quad \text{pour }x\in]0,+\infty[.\]

Tu veux étudier cette modélisation.

1. Détermine les limites de \(B\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), puis étudie les variations de \(B\) sur \(]0,+\infty[\).
2. Montre que l'équation \(B(x)=0\) admet exactement deux solutions : \(x=1\) et un réel \(\alpha\) avec \(e<\alpha<e^2\). Donne ensuite le signe de \(B(x)\).
3. Interprète le résultat précédent : pour quelles durées de fonctionnement l'atelier est-il bénéficiaire ?
4. On appelle bénéfice horaire moyen la quantité \(M(x)=\dfrac{B(x)}{x}\). Montre que \(M(x)=2-\ln x-\dfrac{2}{x}\), puis étudie les variations de \(M\).
5. Compare la durée qui maximise le bénéfice total et celle qui maximise le bénéfice horaire moyen. Interprète cette différence.

Tu considères la fonction \(f\) définie sur \(]0,1[\cup]1,+\infty[\) par

\[f(x)=\frac{\ln x}{x-1}.\]

On veut étudier cette fonction, puis une suite qui lui est liée.

1. On pose \(\varphi(x)=x-1-x\ln x\) pour \(x>0\). Étudie les variations de \(\varphi\), puis montre que \(\varphi(x)\le 0\) pour tout \(x>0\).
2. Déduis-en les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]0,1[\) et \(]1,+\infty[\).
3. Détermine les limites de \(f\) en \(0^+\), en \(1\) et en \(+\infty\).
4. Démontre que, pour tout \(x>0\), on a \(\ln x\le x-1\), avec égalité seulement pour \(x=1\).
5. On pose, pour tout entier \(n\ge 1\), \(u_n=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\). Étudie les variations de la suite \((u_n)\) et détermine sa limite.

On définit la suite \((u_n)\) par

\[u_0=e\quad \text{et}\quad u_{n+1}=1+\ln(u_n)\quad \text{pour tout }n\ge 0.\]

Tu vas étudier le comportement de cette suite.

1. On pose \(\phi(x)=x-1-\ln x\) sur \(]0,+\infty[\). Étudie les variations de \(\phi\), puis montre que \(\phi(x)\ge 0\) pour tout \(x>0\), avec égalité seulement pour \(x=1\).
2. Déduis-en que, pour tout \(x\in[1,e]\), on a \(1\le 1+\ln x\le x\).
3. Montre par récurrence que, pour tout entier \(n\), \(1<u_n\le e\).
4. Montre que la suite \((u_n)\) est décroissante.
5. Déduis-en que la suite \((u_n)\) converge, puis détermine sa limite.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par

\[f(x)=\frac{\ln x}{x}.\]

On veut utiliser son étude pour résoudre des équations et examiner une suite.

1. Détermine les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\), puis étudie les variations de \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
2. Montre que, pour tout réel \(m\) tel que \(0<m<\dfrac{1}{e}\), l'équation \(\ln x=mx\) admet exactement deux solutions positives : l'une dans \(]1,e[\), l'autre dans \(]e,+\infty[\).
3. Résous exactement l'équation \(\ln x=\dfrac{\ln 2}{2}x\).
4. Résous l'inéquation \(\ln x\ge \dfrac{\ln 2}{2}x\).
5. On pose \(v_n=\dfrac{\ln n}{n}\) pour tout entier \(n\ge 1\). Étudie les variations de la suite \((v_n)\) et détermine sa plus grande valeur.